点電荷が球の中心にある場合のガウスの法則

[閉曲面 ${\displaystyle S}$ を半径 ${\displaystyle R}$ の球面とし，その中心に点電荷 ${\displaystyle Q}$ がある場合]

点電荷 ${\displaystyle Q}$ の位置を原点に取ると，クーロンの法則から球面上の位置 ${\displaystyle r}$ における電場ベクトル ${\displaystyle E\left(r\right)}$ は，

${\displaystyle E\left(r\right)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e_r}{R^2}}$

と表される． ここで， ${\displaystyle e_r=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )}$ は3次元極座標表示における動径方向の単位ベクトルである． ${\displaystyle n}$ を球面上の単位法線ベクトルとすると， ${\displaystyle n=e_r}$ であることから，

${\displaystyle E\left(r\right)\cdot ndS=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e_r}{R^2}\cdot e_{r}dS}$

${\displaystyle \phantom{E\left(r\right)\cdot ndS}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{R^2}dS}$

この結果を，(1)式の左辺に用いると，

${\displaystyle {\displaystyle {\oint }_{S}E}\left(r\right)\cdot ndS=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{R}^2}{\displaystyle {\oint }_{S}dS}}$

右辺の積分は半径 ${\displaystyle R}$ の球面の表面積であるから， ${\displaystyle {\displaystyle {\oint }_{S}dS=4\pi R^2}}$ ．したがって，

${\displaystyle {\displaystyle {\oint }_{S}E\left(r\right)\cdot ndS}}$ ${\displaystyle =\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{R}^2}4\pi R^2}$ ${\displaystyle =\frac{Q}{{\epsilon }_0}}$

よって，(1)式が成り立つことが分かる．

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学生スタッフ作成

2024年3月11日