ビオ・サバールの法則 (Biot-Savart's Law)

太さの無視できる導線に定電流 ${\displaystyle I}$ が流れているとする(図1)．この導線上の微小区間 ${\displaystyle \Delta s}$ (電流の流れる向きを向いた線素ベクトル)を考えると，この区間を流れる電流によって導線の周りの点 ${\displaystyle P}$ に作られる磁場 ${\displaystyle \Delta B}$ は，

${\displaystyle \Delta B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\Delta s\times r}{r^3}}$ ･･････(1)

で与えられる．ここで， ${\displaystyle r}$ は微小区間 ${\displaystyle \Delta s}$ を原点としたときの点 ${\displaystyle P}$ の位置ベクトル， ${\displaystyle r=\left|r\right|}$ ， ${\displaystyle {\mu }_0}$ は真空の透磁率である．(1)式は，ビオ・サバールの法則と呼ばれる．

次に，導線を流れる電流全体による磁場 ${\displaystyle B}$ を考える．空間内の原点 ${\displaystyle O}$ を考え，導線上の点の位置ベクトルを ${\displaystyle s}$ で表すとする(図2)．(1)式を用いると，位置 ${\displaystyle s}$ における微小区間 ${\displaystyle ds}$ を流れる電流が作る磁場は，

${\displaystyle dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Ids\times (r-s)}{{\left|r-s\right|}^3}}$ ･･････(2)

と表される．したがって，位置ベクトル ${\displaystyle r}$ の点 ${\displaystyle P}$ における磁場 ${\displaystyle B\left(r\right)}$ は，(2)式を導線全体にわたって線積分することで，

${\displaystyle B\left(r\right)=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\displaystyle \int \frac{ds\times \left(r-s\right)}{{\left|r-s\right|}^3}}}$ ･･････(3)

となる．

線上を流れる電流ではなく，より一般的な定電流分布による磁場を考える場合は，(2)式の電流要素 ${\displaystyle Ids}$ を ${\displaystyle i\left(s\right)d^{3}s}$ に置き換える．ここで， ${\displaystyle i\left(s\right)}$ は位置 ${\displaystyle s}$ における電流密度， ${\displaystyle d^{3}s}$ は微小体積要素である．こうして得られる ${\displaystyle dB}$ を，電流密度が存在する領域にわたって体積積分することで，

${\displaystyle B\left(r\right)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\displaystyle \int \frac{d^{3}si\left(s\right)\times \left(r-s\right)}{{\left|r-s\right|}^3}}}$ ･･････(4)

が得られる．

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学生スタッフ作成

2025年4月16日