電荷保存則(Law of conservation of charge)

外部との電荷のやりとりのない孤立した系では，その系内で電荷分布が変化することはあっても， 電荷量の総和は常に一定である．これを電荷保存則と呼ぶ．このことから，外部との電荷のやりとりがある場合に， 系から流出(あるいは流入)した電荷量と系内の電荷量の変化を関係づけることができる．

空間内に閉曲面 ${\displaystyle S}$ を取り， ${\displaystyle S}$ で囲まれる領域を ${\displaystyle V}$ とする．領域 ${\displaystyle V}$ から単位時間あたりに流出する電荷の量は， ${\displaystyle S}$ 上での電流密度 ${\displaystyle i\left(r,t\right)}$ を用いて，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{S}i\left(r,t\right)\cdot ndS}}$･･････(1)

で与えられる（正の場合は流出，負の場合は流入を表す）．ここで， ${\displaystyle n}$ は ${\displaystyle S}$ 上の(外向きの)単位法線ベクトルである．一方で， ${\displaystyle V}$ 内の電荷の総量は電荷密度 ${\displaystyle \rho \left(r,t\right)}$ を用いて，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_V\rho \left(r,t\right)dV}}$･･････(2)

と書ける．電荷保存則より，(1)式で与えられる電荷の流出量は，単位時間あたりの ${\displaystyle V}$ 内の電荷の減少量

${\displaystyle -\frac{d}{dt}{\displaystyle {\int }_V\rho \left(r,t\right)dV}}$･･････(3)

に等しい（(3)式が正の場合は減少を表し，負の場合は増加を表す）．したがって，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{S}i\left(r,t\right)\cdot ndS}}$ ${\displaystyle =-\frac{d}{dt}{\displaystyle {\int }_V\rho \left(r,t\right)dV}}$･･････(4)

を得る．この式の左辺にガウスの定理を用いれば，

${\displaystyle V}$ が時間変化していないとし，左辺第2項で微分と積分の順序を交換すれば，

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_V\nabla \cdot i\left(r,t\right)dV}+{\displaystyle {\int }_V\frac{\partial }{\partial t}\rho \left(r,t\right)dV}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_V\left(\nabla \cdot i\left(r,t\right)+\frac{\partial }{\partial t}\rho \left(r,t\right)\right)dV}}$ ${\displaystyle =0}$･･････(6)

を得る．さらに， ${\displaystyle V}$ は任意の領域に取ることができることを考えると，

${\displaystyle \nabla \cdot i\left(r,t\right)+\frac{\partial }{\partial t}\rho \left(r,t\right)=0}$･･････(7)

の関係式が得られる．これは微分形で表現された電荷保存則であり，連続の方程式とも呼ばれる．特に，定常電流の場合には ${\displaystyle i\left(r,t\right)}$ および ${\displaystyle \rho \left(r,t\right)}$ はともに時間に依存しない．したがって(7)式から，

${\displaystyle \nabla \cdot i\left(r\right)=0}$･･････(8)

となる．

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2026年2月16日