減衰振動 ： 過減衰 (over damping)

x 軸上を単振動する質量 m の質点に速度 v= dx / dt に比例する抵抗力が作用するときの運動方程式

m d2x dt2 =−cx −bv     （ c ， b ：正定数）     - - - (1)

において，単振動の角振動数 ω0 = c/m  と減衰率 γ=b/ 2m  を導入して整理すると，定数係数の2階同次線形微分方程式

d2x dt2 +2γ dx dt + ω02x =0     - - - (2)

が得られる．この特性方程式  λ2 + 2γλ + ω02 =0  の解  λ= −γ± γ2 − ω02  は，抵抗が比較的大きくて γ> ω0  ならば2つの異なる実数根となり，この場合を過減衰 (over damping) という． η= γ2 − ω02  とおくと，式(2)の一般解は

x= e−γt   ( c1 eηt + c2 e−ηt )     （ c1 ， c2 ：任意定数）     - - - (3)

で与えられ， η<γ  なので t が無限に大きくなるとゼロに近づく．この解は振動せずに釣り合いの位置（ x=0 ）に収束する非周期的減衰 (aperiodic damping) を示す．質点の速度は

v= dx dt =− e−γt   { (γ−η) c1 eηt + (γ+η) c2 e−ηt }     - - - (4)

であり，初期条件として， x(0) =x0 ， v(0) =v0  を考えると，任意定数 c1 と c2 は

c1 = (γ+η) x0 + v0 2η   ，   c2 =− (γ−η) x0 + v0 2η     - - - (5)

を満たすように決定される．

γ=0.2  s-1 ， η=0.1  s-1  として，正の初期位置（ x0= 1.0 m ）と負の初期位置（ x0= −1.0 m ）の場合について，各々4通りの初期速度で計算した過減衰のグラフを下図に示す．

  

式(3)において， x=0  となる時刻は， c1 eηt + c2 e−ηt =0    ⇒    e2ηt =− c2 / c1  より

t= 12η log  ( − c2 c1 )     - - - (6)

となる． t≥0  なので， c2 / c1 ≤−1  であれば必ず一度釣り合いの位置（ x=0 ）を通過し， c2 / c1 >−1  であれば一度も釣り合いの位置を通過しない．

また，式(4)において，速度 v=0 とおくと位置 x が極大または極小になるときの時刻が得られる．その時刻は， (−γ+η) c1 eηt + (−γ−η) c2 e−ηt =0    ⇒    e2ηt =− (γ+η) c2 / (γ−η) c1  より

t= 12η log  {  − (γ+η) c2 (γ−η) c1  }      - - - (7)

となる． t≥0  なので，

(γ+η) c2 (γ−η) c1 ≤−1

であれば，位置 x がどこかの時点で極大または極小となる．

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