単振動 : 位置 (postion),速度 (velocity),加速度 (acceleration)
角振動数
ω
で単振動する質点の位置
x
を
x(t)
=
Acos
(
ωt+α
)
- - - (1)
と表すと,質点の速度
v
は
v(t)
=
dx
dt
=
−ωAsin
(ωt+α)
- - - (2)
となり,質点の加速度
a
は
a(t)
=
dv
dt
=
−ω2
Acos
(ωt+α)
- - - (3)
となる.このとき,加速度の式には位置
x
と同じ表式
Acos
(
ωt+α
)
が含まれるので,加速度と位置の関係は
a(t)
=
−ω2
x(t)
- - - (4)
と表せて,加速度は位置
x
に比例し,逆向きであることがわかる.単振動において,上式は常に成り立つ.
速度の式(2) および加速度の式(3) より,速度の大きさの最大値
vmax
と加速度の大きさの最大値
amax
はそれぞれ,
vmax
=Aω
,
amax
=A
ω2
- - - (5)
である.
A=1.0 m
,
ω=1.0
s
−1
,
α=0
の場合について,位置
x
〔m〕
,速度
v
〔m/s〕
,加速度
a
〔m/s2〕
のグラフを描くと下図のようになる.
図からも分かるように,位置と速度は位相が
π/2
ずれ,位置と加速度は位相が
π
ずれている.
横軸に質点の位置
x
をとり,時刻
t=0 s
から
t=π
〔s〕
までの単振動のイメージを下図に示す.
水色の球が質点を表し,各位置における速度と加速度をそれぞれ赤矢印と緑矢印,および数値で示している.速度の大きさは原点で最大になり,加速度の大きさは振動の両端で最大となる.
他の表式においても,
a=−ω2x
が成り立つか否かを確かめてみる.位置を
x(t)
=
Asin
(
ωt+β
)
とすると,速度と加速度は
v(t)
=
dx
dt
=
ωAcos
(ωt+β)
,
a(t)
=
dv
dt
=
−ω2
Asin
(ωt+β)
となり,
a=−ω2x
が成り立つ.また,位置を
x(t)
=
A1
cosωt
+
A2
sinωt
とすると,速度と加速度は
v(t)
=
dx
dt
=
−ω
A1
sinωt+ω
A2
cosωt
,
a(t)
=
dv
dt
=
−ω2
A1
cosωt−
ω2
A2
sinωt
=
−
ω2
(
A1
cosωt
+
A2
sinωt
)
となり,同様に
a=−ω2x
が成り立つ.
式(1)では,振動の中心を原点(
x=0
)としているが,振動の中心を任意の点
x=xC
とすると,式(1)は
x(t)
=
Acos
(
ωt+α
)
+xC
- - - (6)
で置き換えられる.
xC
は定数であるので,速度
v
と加速度
a
の式は変わらない.この場合,式(4)は
a(t)
=
−ω2
(x−xC)
- - - (4)
と書き換えられる.よって,加速度は中心位置からの変位
x−xC
に比例し,変位と逆向きとなる.
ホーム>>カテゴリー分類>>力学>>質点の力学>>単振動>>位置,速度,加速度