単振り子 ： 力学的エネルギー保存則 (conservation of mechanical energy)

半径 L の円弧上を質量 m の質点が往復運動する単振り子について，円の接線方向における質点の運動方程式は

m dvt dt = −mgsinθ     - - - (1)

と表される（導出）．ここで， vt=L dθdt は速度の接線方向成分であり，式 (1) の両辺に vt をかけて整理すると

mvt dvt dt = −mgLsinθ dθdt     - - - (2)

となる．式 (2) を時刻 t0 から t まで積分すると

m ∫t0t vt dvt dt dt = −mgL ∫t0t sinθ dθ dt dt

となり，置換積分を行うと

m ∫ vt (t0) vt (t) vt dvt = −mgL ∫ θ (t0) θ(t) sinθdθ     ⇒     12 m [ vt2 ] vt ( t0 ) vt (t) = mgL [cosθ] θ (t0) θ(t)

  ⇒     12 mvt2 (t) − 12 mvt2 (t0) = mgLcosθ (t) − mgLcosθ (t0)     - - - (3)

が得られる．重力による位置エネルギーの基準を点 O の高さにとると，式 (3) から力学的エネルギー保存則

12 mvt2 (t) − mgLcosθ (t) = 12 mvt2 (t0) − mgLcosθ (t0) = 一定     - - - (4)

が導かれる．第1項目が運動エネルギー K= 12 mvt2 ，第2項目が重力による位置エネルギー U=−mgLcosθ である．時刻 t0=0 で質点は最下点 C に位置（ θ(0)=0 ）し，そのときの速度を vt (0) = v0 とする．重力による位置エネルギーの基準を最下点 C にとりなおすと，式 (4) より

12 mvt2 + mgL ( 1−cosθ ) = 12 mv02     - - - (5)

が得られる．

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