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3次元の極座標（球座標）(spherical coordinates)

3次元空間において，動径座標 ${\displaystyle r}$ と２つの角度座標 ${\displaystyle \theta }$ , ${\displaystyle \varphi }$ を用いて任意の点の位置を指定するとき， ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ を3次元の極座標(polar coordinates) もしくは球座標(spherical coordinates) という．ある一定の値の動径座標 ${\displaystyle r}$ に対する点 ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ の集合は，原点を中心とする半径 ${\displaystyle r}$ の球面を描く．

図のように，原点 ${\displaystyle \text{O}}$ から点 ${\displaystyle \text{P}}$ までの距離を ${\displaystyle r}$ ，動径と ${\displaystyle z}$ 軸とのなす角を ${\displaystyle \theta }$ ，${\displaystyle xy}$ 平面への動径の射影（長さ：${\displaystyle r\sin \theta }$ ）と ${\displaystyle x}$ 軸とのなす角を ${\displaystyle \varphi }$ とする．極座標 ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ と3次元空間の直交座標 ${\displaystyle (x,y,z)}$ との間には

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi }$     - - - (1)
${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi }$     - - - (2)
${\displaystyle z=r\cos \theta }$     - - - (3)

の関係がある．動径座標 ${\displaystyle r}$ の範囲は ${\displaystyle 0\le r<\infty }$ であり，２つの角度座標 ${\displaystyle \theta }$ , ${\displaystyle \varphi }$ の範囲は各々， ${\displaystyle 0\le \theta \le \pi }$ ， ${\displaystyle -\pi <\varphi \le \pi }$ （または ${\displaystyle 0\le \varphi <2\pi }$ ）である．

平面における円座標と同様に，原点 ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$ においては角度 ${\displaystyle \theta }$ , ${\displaystyle \varphi }$ が定まらず特異点 ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )=(0,\theta ,\varphi )}$ となる．また，直交座標 ${\displaystyle (x,y,z)}$ から極座標 ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ への変換は

${\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$     - - - (4)
${\displaystyle \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)}$     - - - (5)
${\displaystyle \varphi =\mathrm{sgn}(y){\cos }^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)}$     - - - (6)

で与えられる．式(6)における ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ は以下に示す符号関数である：

${\displaystyle \mathrm{sgn}(y)=\left\{\begin{array}{cc}1& (y\ge 0)\\ -1& (y<0)\end{array}\right.}$

また，原点は特異点であり，式(5)(6)の逆余弦関数において分母がゼロとなるため角度が定義できない．

${\displaystyle \varphi }$ の範囲が ${\displaystyle 0\le \varphi <2\pi }$ のとき，式(6)は

${\displaystyle \varphi =\mathrm{sgn}(y){\cos }^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)+\pi (1-\mathrm{sgn}(y))}$     - - - (7)

となる．

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