ロドリゲスの回転公式の表現行列 (representation matrix of Rodrigues' rotation formula)

3次元空間において，原点 O を通る任意の回転軸（軸方向の単位ベクトルを ${\displaystyle n}$ とする）の周りに，位置ベクトル ${\displaystyle r}$ を角 ${\displaystyle \theta }$ だけ回転させる回転行列を ${\displaystyle R_n(\theta )}$ とすると，回転後の位置ベクトル ${\displaystyle r^{\prime }}$ は

${\displaystyle r^{\prime }=R_n(\theta )r}$

と表される．直交座標系において，回転軸方向の単位ベクトルを ${\displaystyle n=(n_1,n_2,n_3)}$ とすると，この回転行列は次式となる．

【 導出 】

ロドリゲスの回転公式のベクトル表記より

${\displaystyle r^{\prime }=r\cos \theta +(1-\cos \theta )(r\cdot n)n+(n\times r)\sin \theta }$   --- (1)

である．ベクトル射影の表現行列より

${\displaystyle (r\cdot n)n=n{}^{t}nr}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{n}_1& n_2& n_3\end{array}\right)r}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}{n}_1^2& n_1{n}_2& n_1{n}_3\\ n_1{n}_2& n_2^2& n_2{n}_3\\ n_1{n}_3& n_2{n}_3& n_3^2\end{array}\right)r}$

および，ベクトル積の表現行列より

${\displaystyle n\times r={[n]}_{\times }r}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}0& -n_3& n_2\\ n_3& 0& -n_1\\ -n_2& n_1& 0\end{array}\right)r}$

であるので，(1) は行列表現において

${\displaystyle r^{\prime }=\{\cos \theta I+(1-\cos \theta )n{}^{t}n+\sin \theta {[n]}_{\times }\}r}$

と表せる（ ${\displaystyle I}$ は単位行列）．したがって，回転行列

${\displaystyle R_n(\theta )=\cos \theta I+(1-\cos \theta )n{}^{t}n+\sin \theta {[n]}_{\times }}$
       ${\displaystyle =\cos \theta \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}$ ${\displaystyle +(1-\cos \theta )\left(\begin{array}{ccc}{n}_1^2& n_1{n}_2& n_1{n}_3\\ n_1{n}_2& n_2^2& n_2{n}_3\\ n_1{n}_3& n_2{n}_3& n_3^2\end{array}\right)}$ ${\displaystyle +\sin \theta \left(\begin{array}{ccc}0& -n_3& n_2\\ n_3& 0& -n_1\\ -n_2& n_1& 0\end{array}\right)}$
       ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}{n}_1^2(1-\cos \theta )+\cos \theta & n_1{n}_2(1-\cos \theta )-n_3\sin \theta & n_1{n}_3(1-\cos \theta )+n_2\sin \theta \\ n_1{n}_2(1-\cos \theta )+n_3\sin \theta & n_2^2(1-\cos \theta )+\cos \theta & n_2{n}_3(1-\cos \theta )-n_1\sin \theta \\ n_1{n}_3(1-\cos \theta )-n_2\sin \theta & n_2{n}_3(1-\cos \theta )+n_1\sin \theta & n_3^2(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{array}\right)}$

が得られる．また，ロドリゲスの回転公式のベクトル表記より

${\displaystyle r^{\prime }=r+(n\times r)\sin \theta +(1-\cos \theta )\left\{(r\cdot n)n-r\right\}}$   --- (2)

とも書けるので， ${\displaystyle n_1^2+n_2^2+n_3^2=1}$ を考慮すると

${\displaystyle (r\cdot n)n-r=(n{}^{t}n-I)r}$ ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}{n}_1^2-1& n_1{n}_2& n_1{n}_3\\ n_1{n}_2& n_2^2-1& n_2{n}_3\\ n_1{n}_3& n_2{n}_3& n_3^2-1\end{array}\right)r}$
       ${\displaystyle =\left(\begin{array}{ccc}-n_2^2-n_3^2& n_1{n}_2& n_1{n}_3\\ n_1{n}_2& -n_3^2-n_1^2& n_2{n}_3\\ n_1{n}_3& n_2{n}_3& -n_1^2-n_2^2\end{array}\right)r}$ ${\displaystyle ={\left(\begin{array}{ccc}0& -n_3& n_2\\ n_3& 0& -n_1\\ -n_2& n_1& 0\end{array}\right)}^{2}r}$ ${\displaystyle ={[n]}_{\times }^{2}r}$

より，(2) は行列表現において

${\displaystyle r^{\prime }=\{I+\sin \theta {[n]}_{\times }+(1-\cos \theta ){[n]}_{\times }^2\}r}$

と表せる．したがって，回転行列は

${\displaystyle R_n(\theta )=I+\sin \theta {[n]}_{\times }+(1-\cos \theta ){[n]}_{\times }^2}$

とも書ける．

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