関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください.

ロドリゲスの回転公式の表現行列 (representation matrix of Rodrigues' rotation formula)

3次元空間において,原点 O を通る任意の回転軸(軸方向の単位ベクトルを nn とする)の周りに,位置ベクトル rr を角 θθ だけ回転させる回転行列を Rn(θ)Rn(θ) とすると,回転後の位置ベクトル rr

r=Rn(θ)rr=Rn(θ)r

と表される.直交座標系において,回転軸方向の単位ベクトルを n=(n1,n2,n3)n=(n1,n2,n3) とすると,この回転行列は次式となる.

Rn(θ)=(n21(1cosθ)+cosθn1n2(1cosθ)n3sinθn1n3(1cosθ)+n2sinθn1n2(1cosθ)+n3sinθn22(1cosθ)+cosθn2n3(1cosθ)n1sinθn1n3(1cosθ)n2sinθn2n3(1cosθ)+n1sinθn23(1cosθ)+cosθ)Rn(θ)=⎜ ⎜n21(1cosθ)+cosθn1n2(1cosθ)n3sinθn1n3(1cosθ)+n2sinθn1n2(1cosθ)+n3sinθn22(1cosθ)+cosθn2n3(1cosθ)n1sinθn1n3(1cosθ)n2sinθn2n3(1cosθ)+n1sinθn23(1cosθ)+cosθ⎟ ⎟

【 導出 】

ロドリゲスの回転公式のベクトル表記より

r=rcosθ+(1cosθ)(rn)n+(n×r)sinθr=rcosθ+(1cosθ)(rn)n+(n×r)sinθ   --- (1)

である.ベクトル射影の表現行列より

(rn)n=nntr =(n1n2n3)(n1n2n3)r =(n21n1n2n1n3n1n2n22n2n3n1n3n2n3n23)r

および,ベクトル積の表現行列より

n×r=[n]×r =(0n3n2n30n1n2n10)r

であるので,(1) は行列表現において

r={cosθI+(1cosθ)nnt+sinθ[n]×}r

と表せる( I は単位行列).したがって,回転行列

Rn(θ)=cosθI+(1cosθ)nnt+sinθ[n]×
       =cosθ(100010001) +(1cosθ)(n21n1n2n1n3n1n2n22n2n3n1n3n2n3n23) +sinθ(0n3n2n30n1n2n10)
       =(n21(1cosθ)+cosθn1n2(1cosθ)n3sinθn1n3(1cosθ)+n2sinθn1n2(1cosθ)+n3sinθn22(1cosθ)+cosθn2n3(1cosθ)n1sinθn1n3(1cosθ)n2sinθn2n3(1cosθ)+n1sinθn23(1cosθ)+cosθ)

が得られる.また,ロドリゲスの回転公式のベクトル表記より

r=r+(n×r)sinθ+(1cosθ){(rn)nr}   --- (2)

とも書けるので, n21+n22+n23=1 を考慮すると

(rn)nr=(nntI)r =(n211n1n2n1n3n1n2n221n2n3n1n3n2n3n231)r
       =(n22n23n1n2n1n3n1n2n23n21n2n3n1n3n2n3n21n22)r =(0n3n2n30n1n2n10)2r =[n]2×r

より,(2) は行列表現において

r={I+sinθ[n]×+(1cosθ)[n]2×}r

と表せる.したがって,回転行列は

Rn(θ)=I+sinθ[n]×+(1cosθ)[n]2×

とも書ける.


ホーム>>カテゴリー分類>>物理数学>>線形代数>>ロドリゲスの回転公式

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)