ヘヴィサイドの階段関数 (Heaviside step function)

実数 ${\displaystyle x}$ に対して，負の値 ${\displaystyle x<0}$ では ${\displaystyle 0}$ となり，正の値 ${\displaystyle x>0}$ では ${\displaystyle 1}$ となる関数を，ヘヴィサイドの階段関数 (Heaviside step function) ，または単位階段関数 (unit step function) といい，以下ように表される．

${\displaystyle H(x)=\left\{\begin{array}{cc}0& (x<0)\\ 1& (x>0)\end{array}\right.}$      --- (1)

${\displaystyle H(x)}$ の他にも， ${\displaystyle \theta (x)}$ や ${\displaystyle Y(x)}$ で表されることもある．

${\displaystyle x=0}$ での関数値を ${\displaystyle c}$ として，階段関数を以下のように不連続関数として定義することがある．

${\displaystyle H_c(x)=\left\{\begin{array}{cc}0& (x<0)\\ c& (x=0)\\ 1& (x>0)\end{array}\right.}$      --- (2)

${\displaystyle c}$ の値としては， ${\displaystyle c=0,\frac{1}{2},1}$ がよく用いられる．

ヘヴィサイドの階段関数は，制御理論や信号処理においてよく用いられ，指定された時刻にスイッチが入り，その後はスイッチが入ったままの信号を表す．元々は，電気信号をモデル化するためにオリバー・ヘヴィサイド [Oliver Heaviside]（イギリスの電気技師・物理学者，1850-1925）により導入された．

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