1次元ステップポテンシャルに対するシュレディンガー方程式の定常解（ステップポテンシャル）

1次元（ ${\displaystyle x}$ 軸上）のポテンシャル中を運動する質量 ${\displaystyle m}$ の量子に対するシュレディンガー方程式は次式となる．

${\displaystyle i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle =\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V\right)\psi \left(x,t\right)}$

Figure1のようなステップポテンシャル

${\displaystyle V=\{\begin{array}{l}0 \left(x<0\right)\\ V_0\left(x\geqq 0\right)\end{array}}$

において， ${\displaystyle x<0}$ の十分遠方 ${\displaystyle \left(x\sim -\infty \right)}$ の粒子源からある運動量をもつ粒子を ${\displaystyle x}$ の正の向きに入射し続けている状況を考え，その定常状態(確率密度の空間分布が時刻に依らず変化しない状態)についてのシュレディンガー方程式の解を求める．

粒子のエネルギー ${\displaystyle E}$ が一定の定常状態の場合，シュレディンガー方程式の解は変数分離形 ${\displaystyle \psi \left(x,t\right)=\varphi \left(x\right)\phi \left(t\right)}$ で表すことができ(変数分離)，時間を含まないシュレディンガー方程式

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{dx}\varphi \left(x\right)=\left(E-V\right)\varphi \left(x\right)}$･･････(1)

を考えることができる．ここで，波動関数の時間依存部分 ${\displaystyle \phi \left(t\right)=e^{i\frac{E}{\hslash }t}}$ である． 解を ${\displaystyle \varphi \left(x\right)=e^{\lambda x}}$ と仮定して，(1)に代入すると，

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2m}{\lambda }^2=E-V}$

${\displaystyle {\lambda }^2=-\frac{2m}{{\hslash }^2}\left(E-V\right)}$

${\displaystyle \lambda =\pm i\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}\left(E-V\right)}}$ ${\displaystyle =\pm \frac{i}{\hslash }\sqrt{2m\left(E-V\right)}}$

[�T] ${\displaystyle x<0}$ のとき
${\displaystyle V=0}$ より，

重ね合わせの原理より，

${\displaystyle \varphi \left(x\right)=A{e}^{ikx}+B{e}^{-ikx}}$･･････(2)

どちらに進む波かは， ${\displaystyle t}$ 依存の波動関数まで含めて考えないと分からない．

${\displaystyle \psi \left(x,t\right)=\varphi \left(x\right)\phi \left(t\right)}$ ${\displaystyle =\left(A{e}^{ikx}+B{e}^{-ikx}\right)e^{i\frac{E}{\hslash }t}}$ ${\displaystyle =A{e}^{ik\left(x-\frac{E}{\hslash k}t\right)}+B{e}^{-ik\left(x+\frac{E}{\hslash k}t\right)}}$

式の(2)の ${\displaystyle e^{ikx}}$ は入射波， ${\displaystyle e^{-ikx}}$ は反射波に対応する．

[�U] ${\displaystyle x\ge 0}$ のとき
${\displaystyle V=V_0}$ より， ${\displaystyle \lambda =\pm \frac{i}{\hslash }\sqrt{2m\left(E-V_0\right)}}$ ${\displaystyle =\pm i\kappa \left(\kappa =\frac{\sqrt{2m\left(E-V_0\right)}}{\hslash }\right)}$

重ね合わせの原理より，

${\displaystyle \varphi \left(x\right)=C{e}^{i\kappa x}+D{e}^{-i\kappa x}}$･･････(3)

ステップポテンシャルに，左方( ${\displaystyle x<0}$ )から粒子を入射している場合， ${\displaystyle x<0}$ の領域では，入射波と反射波， ${\displaystyle x\ge 0}$ の領域では，透過波のみの解になる (式(3)の ${\displaystyle D=0}$ )．したがって，解は次式となる．

${\displaystyle \varphi \left(x\right)=\{\begin{array}{l}A{e}^{ikx}+B{e}^{-ikx}\left(x<0\right)\\ C{e}^{i\kappa x}\left(x\ge 0\right)\end{array}}$

原点 ${\displaystyle \text{O}}$ での境界条件より係数 ${\displaystyle A}$ ， ${\displaystyle B}$ ， ${\displaystyle C}$ の関係を求める．
シュレディンガー方程式は2階の微分方程式なので，その解と1次導関数は全領域で連続でなければならない．
波動関数 ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ は原点 ${\displaystyle \text{O}}$ で等しくなるため

${\displaystyle A+B=C}$･･････(4)

また，導関数

は原点 ${\displaystyle \text{O}}$ で等しくなるため

${\displaystyle kA-kB=\kappa C}$

${\displaystyle A-B=\frac{\kappa }{k}C}$･･････(5)

(4) ${\displaystyle +}$ (5) より

${\displaystyle 2A=\left(1+\frac{\kappa }{k}\right)C}$

${\displaystyle 2A=\frac{k+\kappa }{k}C}$

${\displaystyle C=\frac{2k}{k+\kappa }A}$

が得られ，この ${\displaystyle C}$ を式(4)に代入して

${\displaystyle B=C-A}$ ${\displaystyle =\frac{2k}{k+\kappa }A-A}$ ${\displaystyle =\frac{2k}{k+\kappa }A-\frac{k+\kappa }{k+\kappa }A}$ ${\displaystyle =\frac{k-\kappa }{k+\kappa }A}$

が得られる．よって，係数 ${\displaystyle B}$ ， ${\displaystyle C}$ は ${\displaystyle A}$ を用いて

${\displaystyle B=\frac{k-\kappa }{k+\kappa }A}$， ${\displaystyle C=\frac{2k}{k+\kappa }A}$

と表せる．ただし

${\displaystyle k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }}$， ${\displaystyle \kappa =\frac{\sqrt{2m\left(E-V_0\right)}}{\hslash }}$

[1] ${\displaystyle E>V_0}$ の場合
入射波のエネルギーがポテンシャルのエネルギーより大きいとき，

${\displaystyle \kappa =\frac{\sqrt{2m\left(E-V_0\right)}}{\hslash }}$

は実数になる．したがって，入射波 ${\displaystyle A{e}^{ikx}}$ の一部は反射し(反射波 ${\displaystyle B{e}^{-ikx}}$ )，一部は透過波 ${\displaystyle C{e}^{i\kappa x}}$ として， ${\displaystyle x\ge 0}$ の領域に伝搬する(Figure2)．Figure1に重ねて，波動関数の実部を波線で示した．縦軸はエネルギー，横軸は1次元座標の ${\displaystyle x}$ 軸を示す．

[2] ${\displaystyle E<V_0}$ の場合
入射粒子のエネルギー ${\displaystyle E}$ がポテンシャルのエネルギー ${\displaystyle V}$ より小さいとき，

${\displaystyle \kappa =\frac{\sqrt{2m\left(E-V_0\right)}}{\hslash }}$ ${\displaystyle =i\frac{\sqrt{2m\left(V_0-E\right)}}{\hslash }=i{\kappa }^{\prime }}$

は虚数になる．透過波は

${\displaystyle C{e}^{i\kappa x}=C{e}^{-{\kappa }^{\prime }x}}$

として， ${\displaystyle x\ge 0}$ の領域で指数関数的に減衰する．したがって，入射波 ${\displaystyle A{e}^{ikx}}$ は， ${\displaystyle x\ge 0}$ の領域において指数関数的に減衰する(Figure3)．この図でも，波動関数の実部を破線で示した．

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2025年8月5日