連成振動（ばね‐質量‐ダンパー系（2連成）） ： シミュレーション
2体連成振動
3つのバネで連結した2つの物体の運動
左壁と物体Aを結ぶバネをバネ1，物体間を結ぶバネをバネ2，物体Bと右壁を結ぶバネをバネ3とし，それぞれの間には物体の速度に比例する抵抗力を与えるダンパーが存在するとする．
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物体A（質量
mA
〔kg〕）と物体B（質量
mB
〔kg〕）の運動方程式
mA
d2xA
dt2
=
−k1xA
−k2
(
xA−xB
)
−b1vA
−b2
(
vA−vB
)
mB
d2xB
dt2
=
−k2
(
xB−xA
)
−k3xB
−b2
(
vB−vA
)
−b3vB
xA
,
xB
〔m〕：物体A，物体Bの変位 ，
vA
,
vB
〔m/s〕：物体A，物体Bの速度
k1
,
k2
,
k3
〔N/m〕：バネの弾性定数 ，
b1
,
b2
,
b3
〔N・s/m〕：ダンパーの減衰係数
散逸関数
D=
12{
b1
vA2
+
b2
(
vA−vB
)
2
+bvB2
}
ダンパーで消費される単位時間当たりのエネルギー量：
dEdt
=−2D
〔J/s〕
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xA
=
CA
eλt
，
xB
=
CB
eλt
とおき，運動方程式に代入して整理すると次の連立方程式を得る．
mA
λ2
CA
+(
b1
+
b2
)λ
CA
+(
k1
+
k2
)
CA
−
b2
λ
CB
−
k2
CB
=0
−
b2
λ
CA
−
k2
CA
+
mB
λ2
CB
+(
b2
+
b3
)λ
CB
+(
k2
+
k3
)
CB
=0
上の2式を行列で表すと次式となる．
(
mAλ2
+(
b1
+b2
)
λ+k1
+k2
−b2
λ−k2
−b2
λ−k2
mB
λ2
+(
b2+b3
)
λ+k2
+k3
)(
CA
CB
)=0
非自明な解をもつ条件は
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mA
λ2
+(
b1
+b2
)λ+
k1
+k2
−b2
λ−k2
−b2
λ−k2
mB
λ2
+(
b2
+b3
)λ+
k2
+k3
|=0
であり，この
λ
についての4次方程式の解
λi
（
i=1∼4
）とそれに対応する連立方程式の解
CAi
，
CBi
を用いて，運動方程式の一般解は
xA
=
∑i=14
CAi
eλit
，
xB
=
∑i=14
CBi
eλit
と求まる．連立方程式の解
CAi
，
CBi
は一意に求まらないので，初期条件によって一意に決定する．
また，4次方程式の解は一般に複素数であり，実数係数の方程式の場合，必ず共役複素数の解（
λ=a±ib
）となる．物理的には，複素解では減衰振動となり，実数解では過減衰や臨界減衰(重根の場合)となる．
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