銃弾を撃ち込まれた金属球

天井に質量 $M [kg]$ の鉛でできた金属球が，長さ $l [m]$ の軽い糸でぶら下げられ，静止している．質量 $m [kg]$ の鉛の銃弾が速さ $v_{0} [m/s]$ で水平に飛んできて金属球にめり込み，金属球と銃弾は一体となって運動した．その後，糸が垂直から $60°$ の角度になったとき，金属球は最高到達地点に達し，一瞬静止した．この間，糸がたるむことはないものとする．また，重力加速度の大きさを $g [{m/s}^{2}]$ とする．

$(1)$

銃弾が金属球にめり込んだ直後の，銃弾と一体になった金属球の速さとして，下から正しい選択肢を選べ．銃弾が金属球に刺さる前後で，全運動量の水平方向成分は保存するものとする．

$v_{0} [m/s]$ $\frac{m + M}{m} v_{0} [m/s]$ $\frac{m}{m + M} v_{0} [m/s]$

めり込んだ直後の金属球と銃弾の速度の水平方向成分を $V$ とする．運動量保存則より，

$m v_{0} = (m + M) V$ ⇒ $V = \frac{m}{m + M} v_{0}$

を得る．

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$(2)$

$v_{0}$ を $m$ , $M$ , $g$ , $l$ を用いて表した式として，下から正しい選択肢を選べ

$\frac{m + M}{m} \sqrt{g l} [m/s]$ $\frac{m}{m + M} \sqrt{g l} [m/s]$ $\frac{m + M}{m} g l [m/s]$

力学的エネルギー保存則より，銃弾がめり込んだ直後の力学的エネルギーと最高点まで上がった瞬間の力学的エネルギーとが等しくなるので，水平に飛んできた銃弾の高さを重力による位置エネルギーの基準にとり，めり込んだ直後の金属球と銃弾の速度の水平方向成分を $V$ とすると

$\frac{1}{2} m V^{2} = m g (l - l \cos 60 °)$

が成り立つ．したがって

$\frac{1}{2} m V^{2} = m g \frac{l}{2}$ ⇒ $V^{2} = g l$ ⇒ $V = \sqrt{g l}$

となる． $(1)$ より， $V = \frac{m}{m + M} v_{0}$ であるので，

$\frac{m}{m + M} v_{0} = \sqrt{g l}$ ⇒ $v_{0} = \frac{m + M}{m} \sqrt{g l}$

を得る．

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学生スタッフ作成

2021年11月19日