慣性抵抗を受けて運動する物体
右図のように，
x
軸の正の向きに沿って直線運動する質量
m [
kg ]
の物体に，物体の速度
v [
m/s ]
の
2
乗に比例する慣性抵抗力
f=−b
v
2
[ N ]
（
b [
kg/s ]
：正定数）のみが作用する場合について，以下の問に答えよ．
(1)
物体の加速度を
dv
dt
[
m/s
2
]
として，物体の 運動方程式を書け．
解答
(2)
(
1
)
の運動方程式を解いて時刻
t [ s ]
での物体の速度
v(
t
) [
m/s ]
を求め，
v-t
グラフを描け．
ただし，
t=0 s
での物体の速度を
v(
0
)=
v
0
[
m/s ]
(
v
0
＞0
)
とする．
解答
解説
(
1
)
より
−
1
v2
dv
dt
=
bm
であり，両辺を
t
で積分すると
−
∫
1
v2
dv
dt
dt
=
∫
bm
dt
⇒
−
∫
1
v2
dv
=
bm
∫dt
⇒
1v
=
bm
t+C
（
C
：積分定数）
となり，一般解は次式となる．
v(t)
=
1
bm
t+C
初期条件
v(
0
)=
v
0
より
v(
0
)=
1
C
=
v
0
⇒
C=
1
v
0
となり，特殊解として
v(
t
)=
1
b
m
t+
1
v
0
=
v
0
1+
b
v
0
m
t
が求まる．
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(3)
時刻
t [ s ]
での物体の
x
軸上の位置
x(
t
)
[m]
を求め，
x-t
グラフを描け．ただし，
t=0 m
での物体の位置を
x(
0
)=
x
0
[ m ]
とする．
解答
x(t)
=
mb
ln(
1+
b
v
0
m
t
)+
x0
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解説
(
2
)
で求めた速度
v(
t
)=
v
0
1+
b
v
0
m
t
より
x(t)
=
∫
v(t)
dt
=
∫
v0
1+
bv0
m
t
dt
=
mb
ln(
1+
bv0
m
t
)+C
（
C
：積分定数）
となり，初期条件
x(0)
=
x0
より
x(
0
)=
mb
ln1+C
=C
=
x0
よって，次式を得る．
x(
t
)=
m
b
ln(
1+
b
v
0
m
t
)+
x
0
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2021年10月19日
