粘性抵抗を受けて運動する物体

${\displaystyle \left(1\right)}$ より ${\displaystyle \frac{1}{v}\frac{dv}{dt}=-\frac{b}{m}}$ であり，両辺を ${\displaystyle t}$ で積分すると

   ${\displaystyle \int \frac{1}{v}\frac{dv}{dt}dt=-\int \frac{b}{m}dt}$    ${\displaystyle \Rightarrow \int \frac{1}{v}dv=-\frac{b}{m}\int dt}$    ${\displaystyle \Rightarrow \ln \left|v\right|=-\frac{b}{m}t+C}$

（ ${\displaystyle C}$ ：積分定数） となり，一般解は次式となる．

   ${\displaystyle v\left(t\right)=\pm e^{-\frac{b}{m}t+C}=\pm e^C{e}^{-\frac{b}{m}t}=A{e}^{-\frac{b}{m}t}}$    （ ${\displaystyle A=\pm e^C}$ ：任意定数）

初期条件 ${\displaystyle v\left(0\right)=v_0}$ より

   ${\displaystyle v\left(0\right)=A{e}^0=A=v_0}$

となり，特殊解として   ${\displaystyle v\left(t\right)=v_0{e}^{-\frac{b}{m}t}}$   が求まる．

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${\displaystyle \left(2\right)}$ で求めた速度 ${\displaystyle v\left(t\right)=v_0{e}^{-\frac{b}{m}t}}$ より

   ${\displaystyle x\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt}$ ${\displaystyle =\int v_0{e}^{-\frac{b}{m}t}dt}$ ${\displaystyle =-\frac{m{v}_0}{b}{e}^{-\frac{b}{m}t}+C}$    （ ${\displaystyle C}$ ：積分定数）

となり，初期条件 ${\displaystyle x\left(0\right)=x_0}$ より

   ${\displaystyle x\left(0\right)=-\frac{m{v}_0}{b}{e}^0+C=x_0}$    ${\displaystyle \Rightarrow C=x_0+\frac{m{v}_0}{b}}$

となる．よって，

   ${\displaystyle x\left(t\right)=-\frac{m{v}_0}{b}{e}^{-\frac{b}{m}t}+x_0+\frac{m{v}_0}{b}}$ ${\displaystyle =\frac{m{v}_0}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)+x_0}$

が求まる．

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