粘性抵抗を受けて運動する物体
右図のように，
x
軸に沿って直線運動する質量
m
[kg]
の物体に，物体の速度
v
[m/s]
に比例する粘性抵抗力
f=−bv
[N]
(
b
[kg/s]
：正定数）のみが作用する場合について，以下の問に答えよ．
(1)
物体の加速度を
dv
dt
[
m/s2
]
として，物体の 運動方程式を書け．
解答
(2)
(
1
)
の運動方程式を解いて時刻
t [ s ]
での物体の速度
v(
t
) [
m/s ]
を求め，
v-t
グラフを描け．
ただし，
t=0 s
での物体の速度を
v(
0
)=
v
0
[
m/s ]
(
v0＞0
)
とする．
解答
v(
t
)=
v
0
e
−
b
m
t
閉じる
解説
(
1
)
より
1
v
dv
dt
=−
b
m
であり，両辺を
t
で積分すると
∫
1v
dv
dt
dt=−
∫bm
dt
⇒
∫
1v
dv
=
−
bm
∫
dt
⇒
ln| v |
=−
bm
t+C
（
C
：積分定数）
となり，一般解は次式となる．
v(t)
=±
e
−bm
t+C
=±
eC
e
−bmt
=A
e
−bmt
（
A=±
eC
：任意定数）
初期条件
v(
0
)=
v
0
より
v(
0
)=A
e
0
=A=
v
0
となり，特殊解として
v(
t
)=
v
0
e
−
b
m
t
が求まる．
閉じる
(3)
時刻
t [ s ]
での物体の
x
軸上の位置
x(
t
) [ m ]
を求め，
x-t
グラフを描け．ただし，
t=0 m
での物体の位置を
x(
0
)=
x
0
[ m ]
とする．
解答
x(
t
)=
m
v
0
b
(
1−
e
−
b
m
t
)+
x
0
閉じる
解説
(
2
)
で求めた速度
v(
t
)=
v
0
e
−
b
m
t
より
x(
t
)=
∫
v(
t
)
dt
=
∫
v
0
e
−
b
m
t
dt
=−
m
v
0
b
e
−
b
m
t
+C
（
C
：積分定数）
となり，初期条件
x(
0
)=
x
0
より
x(
0
)=−
m
v
0
b
e
0
+C
=
x
0
⇒
C=
x
0
+
m
v
0
b
となる．よって，
x(
t
)=−
m
v
0
b
e
−
b
m
t
+
x
0
+
m
v
0
b
=
m
v
0
b
(
1−
e
−
b
m
t
)+
x
0
が求まる．
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2021年10月19日
