二等辺三角形の薄板の慣性モーメント2

二等辺三角形の薄板の面密度を ${\displaystyle \sigma }$ とすると，この薄板の面積は ${\displaystyle S=ab/2}$ なので

${\displaystyle \sigma =\frac{2M}{ab}}$

である．図のように，この薄板を ${\displaystyle x}$ 軸方向に微小幅 ${\displaystyle dx}$ の細長い長方形に分割する． ${\displaystyle x}$ 軸方向の位置 ${\displaystyle x}$ での微小幅 ${\displaystyle dx}$ の長方形の長さは ${\displaystyle \frac{2a}{3}-\frac{a}{b}x}$ なので，この長方形の微小面積 ${\displaystyle dS}$ は

${\displaystyle dS=(\frac{2a}{3}-\frac{a}{b}x)\cdot dx}$

である．よって，この部分の微小質量が

${\displaystyle dm=\sigma \cdot dS}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{ab}(\frac{2a}{3}-\frac{a}{b}x)dx}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{b^2}(\frac{2b}{3}-x)dx}$

となる．この長方形の回転半径は ${\displaystyle \left|x\right|}$ であるので，回転軸周りの微小慣性モーメントは

${\displaystyle dI={|x|}^{2}dm}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{b^2}{x}^2(\frac{2b}{3}-x)dx}$

と表せる．したがって，求める慣性モーメントは

${\displaystyle I={\int }_{D}dI}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{b^2}{\int }_{-b/3}^{2b/3}{x}^2(\frac{2b}{3}-x)dx}$ ${\displaystyle =\frac{2M}{b^2}{[\frac{2}{9}b{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4]}_{-b/3}^{2b/3}}$ ${\displaystyle =2M{b}^2(\frac{2}{9}\cdot \frac{8+1}{27}-\frac{1}{4}\cdot \frac{16-1}{81})}$ ${\displaystyle =2M{b}^2(\frac{2}{27}-\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{27})}$ ${\displaystyle =\frac{M{b}^2}{18}}$

となる．

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