慣性モーメント (moment of inertia)

右上図に示すような n 個の質点から成る質点系を考え,この質点系が z 軸のまわりにすべて同じ角速度 ω で回転しているとする.このとき,各質点の質量 mi z 軸からの距離 ri (回転半径)を用いて表される次の量

I= i=1 n mi ri2     ---- (1)

を,この質点系の z 軸まわりの慣性モーメントという.慣性モーメント I を用いると質点系の回転運動の方程式

I dω dt =N     ---- (2)

と表すことができる.ここで, N は質点に作用する z 軸まわりの力のモーメントの和である.したがって,慣性モーメントは,物体が回転運動する際,その回転速度(角速度)の変化を妨げる役割を果たし,物体の回転させにくさを表す量といえる(より正確には物体の回転状態の変化のさせにくさを表す量).
※ 慣性モーメントの値は,回転軸の取り方によって変わることに注意.

物体の並進運動と回転運動との対応関係を考えると,回転運動における慣性モーメント I の役割は,並進運動において質量が果たす役割に対応している.

質点系が大きさをもつ連続体である剛体の場合, 剛体を多数の微小部分に細分化し,各微小部分の質量 Δmi と回転半径 ri を式(1)に当てはめて,極限 Δ mi 0 をとると,回転軸まわりの慣性モーメントは

I= lim Δ mi 0 i=1 n ri2 Δ mi = M r2dm   ---- (3)

のように剛体の全質量 M にわたる積分として表される.剛体の密度を ρ (r) とすると,微小質量 dm は微小体積 dV を用いて dm=ρ (r) dV と書けるので,式(3)は

I= V ρ (r) r2 dV

と表せる.ここで,剛体の密度が一様であれば(全体積 V にわたって一定の値をもつ,つまり ρ (r) =ρ= 定数 ),

I=ρ V r2 dV

と書ける.

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