直方体の慣性モーメント
右図のような，密度が一様で，質量
M
，各辺の長さがそれぞれ
a
,
b
,
c
の直方体について，
z
軸まわりの慣性モーメント
I
を求めよ．ここで，直方体は長さ
c
の1辺が
z
軸に沿うように，
xy
平面上に置かれている．
解答
解説
直方体の体積は
V=abc
であるので，密度
ρ
は
ρ=
M
V
=
M
abc
である．
図のような微小部分を考えると，微小部分の体積は
dV=dxdydz
なので，微小部分の質量
dm
は
dm=ρdV=
M
abc
dxdydz
と表される．微小部分の回転半径は
r=
x
2
+
y
2
である．積分範囲は，
0≤x≤a
，
0≤y≤b
，
0≤z≤c
である．よって，
z
軸まわりの慣性モーメントは
I=
∫
M
r
2
dm
=
∫
V
(
x
2
+
y
2
)×
M
abc
dxdydz
=
M
abc
∫
0
c
{
∫
0
b
(
∫
0
a
(
x
2
+
y
2
)dx
)dy
}
dz=
M
abc
∫
0
c
(
∫
0
b
[
1
3
x
3
+x
y
2
]
0
a
dy
)
dz
=
M
abc
∫
0
c
(
∫
0
b
[
1
3
a
3
+a
y
2
]
0
a
dy
)
dz=
M
abc
∫
0
c
[
1
3
a
3
y+
1
3
a
y
3
]
0
b
dz
=
M
abc
∫
0
c
[
1
3
a
3
b+
1
3
a
b
3
]
0
b
dz=
M
abc
[
1
3
a
3
bz+
1
3
a
b
3
z ]
0
c
=
M
abc
[
1
3
a
3
bc+
1
3
a
b
3
c ]
0
c
=
M
3
(
a
2
+
b
2
)
となる．
閉じる
ホーム>>物理演習問題>>力学>>剛体の力学>>慣性モーメント>>直方体の慣性モーメント
学生スタッフ作成
2020年12月23日
