矩形板（長方形の板）の慣性モーメント2

長方形の面積は ${\displaystyle S=ab}$ であるので，面密度 ${\displaystyle \sigma }$ は

${\displaystyle \sigma =\frac{M}{S}=\frac{M}{ab}}$

である．図のように座標軸を設定し，${\displaystyle xy}$ 面におかれた矩形板の微小部分を考えると，微小部分の面積は ${\displaystyle dS=dxdy}$ なので，微小部分の質量 ${\displaystyle dm}$ は

${\displaystyle dm=\sigma dS=\frac{M}{ab}dxdy}$

と表される．位置 ${\displaystyle (x,y)}$ にある微小部分の回転半径は ${\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}}$ であり， ${\displaystyle xy}$ 面における積分範囲は ${\displaystyle 0\le x\le a}$ ， ${\displaystyle 0\le y\le b}$ である．よって， ${\displaystyle z}$ 軸まわりの慣性モーメントは

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_M{r}^{2}dm}={\displaystyle {\int }_S\left(x^2+y^2\right)\times \frac{M}{ab}dxdy}}$ ${\displaystyle =\frac{M}{ab}{\displaystyle {\int }_0^b\left\{{\displaystyle {\int }_0^a\left(x^2+y^2\right)dx}\right\}dy}}$

${\displaystyle \phantom{I}=\frac{M}{ab}{\displaystyle {\int }_0^b{\left[\frac{1}{3}{x}^3+x{y}^2\right]}_0^{a}dy}}$ ${\displaystyle =\frac{M}{ab}{\displaystyle {\int }_0^b\left(\frac{1}{3}{a}^3+a{y}^2\right)dy}}$

${\displaystyle \phantom{I}=\frac{M}{ab}{\left[\frac{1}{3}{a}^{3}y+\frac{1}{3}a{y}^3\right]}_0^b}$ ${\displaystyle =\frac{M}{ab}\left(\frac{1}{3}{a}^{3}b+\frac{1}{3}a{b}^3\right)}$ ${\displaystyle =\frac{M}{3}\left(a^2+b^2\right)}$

となる．

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