円環の慣性モーメント1

図に示すような，質量 $M$ ，半径 $R$ の密度が一様な薄い円環について，質量中心を通る回転軸のまわりの慣性モーメント $I$ を求めよ．

$I = \frac{1}{2} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$

薄い円環の面密度を

σ

とすると，円環の面積は

S = π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})

なので

$σ = \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})}$

である．図のように，この円環を半径方向（ $r$ 方向）に微小幅 $d r$ の円環に分割する．半径 $r$ の円環の円周は $2 π r$ であり，微小幅 $d r$ の円環の面積は $d S = 2 π r \cdot d r$ と表せるので，この円環の微小質量が

$d m = σ \cdot d S$ $= \frac{M}{π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})} \cdot 2 π r \cdot d r$
$= \frac{2 M}{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}} r d r$

となる．この円環部分の回転半径は $r$ であるので，回転軸周りの微小慣性モーメントは

$d I = r^{2} d m$ $= r^{2} \cdot \frac{2 M}{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}} r d r$ $= \frac{2 M}{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}} r^{3} d r$

と表せる．したがって，求める慣性モーメントは

$I = \int_{D} d I$ $= \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{2 M}{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}} r^{3} d r$ $= \frac{2 M}{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}} {[\frac{1}{4} r^{4}]}_{R_{1}}^{R_{2}}$ $= \frac{2 M}{R_{2}^{2} - R_{1}^{2}} \cdot \frac{1}{4} (R_{2}^{4} - R_{1}^{4})$ $= \frac{1}{2} M (R_{2}^{2} + R_{1}^{2})$

となる．もし，円環の幅が無視できるほど小さければ（ $R_{1} \approx R_{2}$ ），慣性モーメント $I$ は

$I = \lim_{R_{1} \to R_{2}} \frac{1}{2} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$ $= \frac{1}{2} M \cdot 2 R_{2}^{2}$ $= M R_{2}^{2}$

となる．

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最終更新日：2025年9月16日