細い棒の一端を通る回転軸のまわりの慣性モーメント

質量 ${\displaystyle m}$ の質点が ${\displaystyle z}$ 軸の周りを半径 ${\displaystyle r}$ の円軌道を描いて回転するとき， ${\displaystyle z}$ 軸のまわりの慣性モーメント ${\displaystyle I}$ は次式となる．

${\displaystyle I=m{r}^2}$

今回の問題のように連続体の慣性モーメントを求める場合，図のように棒を細分化し，微小部分（微小質量 ${\displaystyle dm}$）の集合体として考える．それぞれの微小部分の ${\displaystyle z}$ 軸からの距離を ${\displaystyle x}$${\displaystyle \left(0\le x\le L\right)}$ としたとき，距離 ${\displaystyle x}$ の位置にある微小部分の，${\displaystyle z}$ 軸のまわりの微小慣性モーメント ${\displaystyle dI}$ は，

${\displaystyle dI=x^{2}dm}$

となる．この一様な棒の線密度（単位長さ当たりの質量）を ${\displaystyle \lambda }$ とすると ${\displaystyle dm}$ は微小長さ ${\displaystyle dx\times }$ 線密度 ${\displaystyle \lambda }$ で表せる．棒の質量は ${\displaystyle M}$ ，長さは ${\displaystyle L}$ なので，この棒の線密度は，

${\displaystyle \lambda =\frac{M}{L}}$

となるので，微小質量は

${\displaystyle dm=\lambda dx}$ ${\displaystyle =\frac{M}{L}dx}$

となる．棒の慣性モーメントは，この微小慣性モーメント ${\displaystyle dI}$ を ${\displaystyle x}$ が ${\displaystyle 0}$ から ${\displaystyle L}$ まで足し合わせる（積分する）ことで求められる．したがって

${\displaystyle I=\int dI=\int x^{2}dm}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^L{x}^2\frac{M}{L}dx}}$ ${\displaystyle =\frac{M}{L}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^L}$ ${\displaystyle =\frac{M}{L}\left(\frac{L^3}{3}-\frac{0}{3}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{M{L}^2}{3}}$

を得る．

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