剛体振り子
図1のように,質量
M [
kg ]
, 長さ
a [ m ]
の一様な棒の一端が点
O
で固定され,鉛直面内で小さく振動している.ただし,空気抵抗は無視でき,重力加速度の大きさを
g [
m/s
2
]
とする.
(
1
)
支点
O
の周りの棒の慣性モーメント
I [
kg⋅m ]
を求めよ.
解答
解説
線密度は
M
a
であり,支点
O
から
x
の位置の微小質量
dm
は,
dm=
M
a
dx
である.支点
O
の周りの慣性モーメント
dI
は,
dI=
x
2
dm=
x
2
M
a
dx
したがって慣性モーメント
I
は,
I=
∫
D
dI=
∫
0
a
x
2
M
a
dx=
M
a
[
x
3
3
]
0
a
=
M
a
3
3
[
kg⋅m ]
となる.⇒ 詳細な説明
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(
2
)
棒が鉛直面内で小さく振動するとき、単振動とみなせる.周期
T [ s ]
を求めよ.
解答
解説
この剛体棒の質量中心を
G
とし,支点
O
を通る鉛直線と,直線
OG
となす角を
θ
とする.
このとき,この剛体棒の運動方程式は,
θ≈0
のとき,
I
d
2
θ
d
t
2
=−
a
2
Mgsinθ≃−
a
2
Mgθ
と表せる.
この棒の角振動数
ω
を用いて,
d
2
θ
d
t
2
=−
aMg
2I
θ=−
ω
2
θ
と表せるので,
ω=
aMg
2I
したがって,
T=
2π
ω
=2π
2I
aMg
=2π
2⋅
M
a
2
3
aMg
=2π
2a
3g
[ s ]
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2021年6月25日
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