2体連成振動
KIT物理ナビゲーション

2体連成振動

JSXGraph Copyright (C) see http://jsxgraph.org

運動を    初期位置に

2体連成振動

3つのバネで連結した2つの物体の運動

左壁と物体Aを結ぶバネをバネ1,物体間を結ぶバネをバネ2,物体Bと右壁を結ぶバネをバネ3とし,それぞれの間には物体の速度に比例する抵抗力を与えるダンパーが存在するとする.

物体A(質量 m A 〔kg〕)と物体B(質量 m B 〔kg〕)の運動方程式

mA d2 xA d t2 = k1 xA k2 ( xA xB ) b1 vA b2 ( vA vB )

mB d2 xB d t2 = k2 ( xB xA ) k3 xB b2 ( vB vA ) b3 vB

xA , xB 〔m〕:物体A,物体Bの変位
vA , vB 〔m/s〕:物体A,物体Bの速度
k1 , k2 , k3 〔N/m〕:バネの弾性定数
b1 , b2 , b3 〔N・s/m〕:ダンパーの減衰定数

ダンパーで消費される単位時間当たりのエネルギー〔J/s〕

dE dt = b 1 v A 2 + b 2 ( vA vB ) 2 +b v B 2

xA = CA e αt xB = CB e αt とおき,運動方程式に代入して整理すると次の連立方程式を得る.

mA α2 CA +( b1 + b2 )α CA +( k1 + k2 ) CA b2 α CB k2 CB =0

b2 α CA k2 CA + mB α2 CB +( b2 + b3 )α CB +( k2 + k3 ) CB =0

上の2式を行列で表すと次式となる.

( mA α2 +( b1 + b2 )α+ k1 + k2 b2 α k2 b2 α k2 mB α2 +( b2 + b3 )α+ k2 + k3 )( CA CB )=0

非自明な解をもつ条件は

| mA α2 +( b1 + b2 )α+ k1 + k2 b2 α k2 b2 α k2 mB α2 +( b2 + b3 )α+ k2 + k3 |=0

であり,この α についての4次方程式の解 αi i=14 )とそれに対応する連立方程式の解 C Ai C Bi を用いて,運動方程式の一般解は

xA = i=1 4 C Ai e αi t xB = i=1 4 C Bi e αi t

と求まる.連立方程式の解 C Ai C Bi は一意に求まらないので,初期条件によって一意に決定する.

また,4次方程式の解は一般に複素数であり,実数係数の方程式の場合,必ず共役複素数の解( α=a±ib )となる.物理的には,複素解では減衰振動となり,実数解では過減衰や臨界減衰(重根の場合)となる.



ホーム>>シミュレーション>>2体連成振動

最終更新日: 2016年3月14日

[ページトップ]
金沢工業大学