微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{2}{3{\left(x-1\right)}^2}\sqrt[3]{{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^2}}$

■ヒント

合成関数を微分する手順で示した

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$ の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle y=\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}}$

を

${\displaystyle y={}^3\sqrt{u}}$ ， ${\displaystyle u=\frac{x+1}{x-1}}$

とおく．

${\displaystyle y=u^{\frac{1}{3}}}$

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{1}{3}{u}^{-\frac{2}{3}}}$

(合成関数の導関数を参照)

${\displaystyle \frac{du}{dx}={\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle =\frac{{\left(x+1\right)}^{\prime }\left(x-1\right)-\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}}$

${\displaystyle \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}{u}^{-\frac{2}{3}}\cdot \frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}}$

( ${\displaystyle u=\frac{x+1}{x-1}}$ と置き換えていたのを元に戻す）

${\displaystyle =\frac{1}{3}\sqrt[3]{{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^2}\cdot \frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}}$ ${\displaystyle =-\frac{2}{3{\left(x-1\right)}^2}\sqrt[3]{{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^2}}$

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最終更新日： 2025年4月9日