微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = \frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{\sqrt{x}}$

■答

$y^{'} = \frac{6 x^{2} + 2 x - 1}{2 x \sqrt{x}}$

■ヒント

分数関数の微分Ⅱ

${\frac{h (x)}{g (x)}}^{'} = \frac{h^{'} (x) g (x) - h (x) g^{'} (x)}{g {(x)}^{2}}$

の公式を用いる．

■解説

$y = \frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{\sqrt{x}}$

$y^{'} = \frac{{(2 x^{2} + 2 x + 1)}^{'} \sqrt{x} - (2 x^{2} + 2 x + 1) {(\sqrt{x})}^{'}}{{(\sqrt{x})}^{2}}$

(分数関数の微分Ⅱを参照)

$= \frac{(4 x + 2) \sqrt{x} - (2 x^{2} + 2 x + 1) \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{{(\sqrt{x})}^{2}}$ $= \frac{\frac{2 x (4 x + 2)}{2 \sqrt{x}} - \frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{2 \sqrt{x}}}{x}$ $= \frac{6 x^{2} + 2 x - 1}{2 x \sqrt{x}}$

●別解

$y = \frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{\sqrt{x}}$

$= \frac{2 x^{2}}{\sqrt{x}} + \frac{2 x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ $= 2 x^{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}$ $= 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}$

(指数法則を参照)

$y^{'} = {(2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}})}^{'}$

(基本となる関数の導関数を参照）

$= 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ $= \frac{6 x^{2} + 2 x - 1}{2 x \sqrt{x}}$

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最終更新日： 2021年3月22日