分数関数の微分 II （関数の商の導関数）

すなわち

■導出

導関数の定義式より

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\frac{h\left(x+\Delta x\right)}{g\left(x+\Delta x\right)}-\frac{h\left(x\right)}{g\left(x\right)}}{\Delta x}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\frac{h\left(x+\Delta x\right)g\left(x\right)-h\left(x\right)g\left(x+\Delta x\right)}{g\left(x+\Delta x\right)g\left(x\right)}}{\Delta x}}$

${\displaystyle {\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\{\frac{1}{g\left(x+\Delta x\right)g\left(x\right)}·}}$${\displaystyle {\displaystyle \frac{h\left(x+\Delta x\right)g\left(x\right)-h\left(x\right)g\left(x+\Delta x\right)}{\Delta x}\}}}$

${\displaystyle =\frac{h^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)-h\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}{{\left\{g\left(x\right)\right\}}^2}}$

          ここを参照

よって

である．

分数関数の微分I${\displaystyle {\left\{\frac{1}{g\left(x\right)}\right\}}^{\prime }=-\frac{g^{\prime }\left(x\right)}{{\left\{g\left(x\right)\right\}}^2}}$を参照

　

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最終更新日： 2026年6月11日