微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=log\left(2x^2-3x+2\right)}$

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■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{4x-3}{2x^2-3x+2}}$

■ヒント

合成関数の導関数

${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$

の式を用いる．

■解説

${\displaystyle y=log\left(2x^2-3x+2\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{2x^2-3x+2}{\left(2x^2-3x+2\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =\frac{1}{2x^2-3x+2}\left(4x-3\right)}$

（ ${\displaystyle {\left\{logx\right\}}^{\prime }=\frac{1}{x}}$ を使っている)

${\displaystyle =\frac{4x-3}{2x^2-3x+2}}$

合成関数の導関数において

${\displaystyle y=f\left(u\right)=\log u}$ ， ${\displaystyle u=g\left(x\right)=2x^2-3x+2}$

と考えて

${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$

の式を適用している．

● ${\displaystyle \frac{dy}{dx}{\displaystyle =\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}}$ を適用する場合

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{d}{du}\log u=\frac{1}{u}}$

${\displaystyle \frac{dx}{du}=\frac{d}{du}\left(2x^2-3x+2\right)}$ ${\displaystyle =4x-3}$

よって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot \left(4x-3\right)=}$ ${\displaystyle \frac{4x-3}{2x^2-3x+2}}$

　

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最終更新日： 2025年2月20日