微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y={\left(x^3\right)}^{-4}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=-12x^{-13}}$あるいは，${\displaystyle -\frac{12}{x^{13}}}$

■ヒント

基本となる関数の導関数より

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^a\right)}^{\prime }=a{x}^{a-1}}$

　　　　(a は実数)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle y={\left(x^3\right)}^{-4}}$

(計算しやすいよう， 指数法則 ${\displaystyle {\left(a^r\right)}^s=a^{rs}}$ を用いて式を変形する)

${\displaystyle =x^{-12}}$ 

${\displaystyle y^{\prime }=-12x^{-12-1}=-12x^{-13}}$${\displaystyle =-\frac{12}{x^{13}}}$ 

●別解

合成関数${\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)}$ の微分${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)}$ を用いる．

${\displaystyle y=g\left(u\right)=u^{-4}}$，${\displaystyle u=h\left(x\right)=x^3}$  

とおくと

${\displaystyle f\left(x\right)=g\left(h\left(x\right)\right)}$

となる．

${\displaystyle g^{\prime }\left(u\right)=-4u^{-5}}$，${\displaystyle h^{\prime }\left(x\right)=3x^2}$  

となるので 

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=g^{\prime }\left(h\left(x\right)\right)h^{\prime }\left(x\right)}$  

${\displaystyle =-4{\left(x^3\right)}^{-5}\left(3x^2\right)}$  

${\displaystyle =-12x^{-15+2}}$  

${\displaystyle =-12x^{-13}}$  

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最終更新日： 2021年3月22日