微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\frac{t^5+1}{t^5}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{5}{t^6}}$  

■ヒント

微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle y=\frac{t^5+1}{t^5}}$

${\displaystyle =1+\frac{1}{t^5}}$

微分の公式を利用できるようにあらかじめ式を変形する．

${\displaystyle y^{\prime }={\left(1\right)}^{\prime }+{\left(\frac{1}{t^5}\right)}^{\prime }}$  

${\displaystyle =0+{\left(t^{-5}\right)}^{\prime }}$  

${\displaystyle =-5t^{-6}}$  

${\displaystyle =-\frac{5}{t^6}}$  

●別解

${\displaystyle y=\frac{t^5+1}{t^5}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{{\left(t^5+1\right)}^{\prime }·t^5-\left(t^5+1\right)·{\left(t^5\right)}^{\prime }}{{\left(t^5\right)}^2}}$

分数の導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =\frac{\left\{\left(5t^4\right)+\left(0\right)\right\}·t^5-5t^4\left(t^5+1\right)}{t^{10}}}$

${\displaystyle =\frac{5t^4·t^5-5t^4\left(t^5+1\right)}{t^{10}}}$

${\displaystyle =\frac{5t^9-5t^9-5t^4}{t^{10}}}$

${\displaystyle =-\frac{5}{t^6}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年4月22日