微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\sqrt[5]{5x-7}}$

■答

${\displaystyle {\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt[5]{{\left(5x-7\right)}^4}}}}$

■ヒント

逆関数の導関数を用いる．

■解説

${\displaystyle y=\sqrt[5]{5x-7}}$

両辺を５乗する．

${\displaystyle y^5=5x-7}$

これをx について解く．

${\displaystyle 5x=y^5+7}$

${\displaystyle x=\frac{1}{5}{y}^5+\frac{7}{5}}$

これを更にy に関して微分する．

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{5}·\left(5y^4\right)}$${\displaystyle =y^4}$

逆関数の導関数を用いる．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$${\displaystyle =\frac{1}{y^4}}$${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt[5]{{\left(5x-7\right)}^4}}}$

●別解

${\displaystyle y=\sqrt[5]{5x-7}}$

微分の公式を適応しやすいように式を変形する．

${\displaystyle ={\left(5x-7\right)}^{\frac{1}{5}}}$　　　　　

合成関数を微分する手順に従う．

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{5}{\left(5x-7\right)}^{-\frac{4}{5}}·{\left(5x-7\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =\frac{1}{5}{\left(5x-7\right)}^{-\frac{4}{5}}·5}$

${\displaystyle ={\left(5x-7\right)}^{-\frac{4}{5}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt[5]{{\left(5x-7\right)}^4}}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2021年3月22日