微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=x^{\frac{1}{3n}}}$ （ ${\displaystyle n}$ は自然数とする．）

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{3n}{x}^{\frac{1}{3n}-1}}$

■ヒント

公式： ${\displaystyle {\left(x^{\alpha }\right)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}}$

逆関数の導関数を用いて計算することもできる．

■解説

${\displaystyle y=x^{\frac{1}{3n}}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{3n}·x^{\frac{1}{3n}-1}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3n}·x^{-\left(1-\frac{1}{3n}\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3n}{x}^{\frac{1}{3n}-1}}$

●別解

${\displaystyle y=x^{\frac{1}{3n}}}$

両辺を３n乗する．

${\displaystyle y^{3n}=x}$

${\displaystyle x=y^{3n}}$

両辺を y で微分する．

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=3n·y^{3n-1}}$

逆関数の導関数より

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3n·y^{3n-1}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3n·{\left(x^{\frac{1}{3n}}\right)}^{3n-1}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3n·x^{\frac{3n-1}{3n}}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3n·x^{1-\frac{1}{3n}}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3n}{x}^{\frac{1}{3n}-1}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年3月8日