微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=\frac{e^{6}cos6x}{log3x}}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{e^6\left(6xsin6xlog3x+cos6x\right)}{x{\left(log3x\right)}^2}}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

${\displaystyle e^6}$ は関数ではなく，数値と扱いが同じであることに注意する．

■解説

${\displaystyle y=\frac{e^{6}cos6x}{log3x}}$

●別解

${\displaystyle y=\frac{e^{6}cos6x}{log3x}}$

${\displaystyle =e^{6}cos6x·{\left(log3x\right)}^{-1}}$

関数 ${\displaystyle e^{6}cos6x}$ と関数 ${\displaystyle {\left(log3x\right)}^{-1}}$ の積と考えて微分する．

${\displaystyle y^{\prime }={\left(e^6\cos 6x\right)}^{\prime }\cdot {\left(\log 3x\right)}^{-1}}$${\displaystyle +e^6\cos 6x\cdot {\left\{{\left(\log 3x\right)}^{-1}\right\}}^{\prime }}$

${\displaystyle =-6e^6\sin 6x\cdot {\left(\log 3x\right)}^{-1}}$${\displaystyle +e^6\cos 6x\cdot \left\{-\frac{1}{x{\left(\log 3x\right)}^2}\right\}}$

${\displaystyle =-\frac{6e^{6}sin6x}{log3x}-\frac{e^{6}cos6x}{x{\left(log3x\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{6e^{6}sin6x·xlog3x+e^{6}cos6x}{x{\left(log3x\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{e^6\left(6xsin6xlog3x+cos6x\right)}{x{\left(log3x\right)}^2}}$

　

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最終更新日： 2023年10月9日