微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=e^{3x}}$

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■答

${\displaystyle y={\mathrm{3e}}^{3x}}$

■ヒント

合成関数の微分

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle y=e^{3x}}$

を

${\displaystyle y=e^u}$ ， ${\displaystyle u=3x}$

とおく．

${\displaystyle \frac{dy}{du}=e^u}$ ， ${\displaystyle \frac{du}{dx}=3}$

よって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}$ ${\displaystyle =e^u\cdot (3)}$ ${\displaystyle ={\mathrm{3e}}^{3x}}$

●別解

合成関数の微分

${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$

の公式を用いた場合

${\displaystyle {\displaystyle y=e^{3x}}}$ ， ${\displaystyle f(u)=e^u}$ ， ${\displaystyle u=g(x)=3x}$

と考える．

${\displaystyle f^{\prime }(u)=e^u}$ →　 ${\displaystyle f^{\prime }(g(x))=e^{3x}}$ ， ${\displaystyle g^{\prime }(x)=3}$

となる．よって

${\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle {=e}^{3x}\cdot 3}$ ${\displaystyle {=\mathrm{3e}}^{3x}}$

 

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最終更新日： 2025年2月20日