極値の問題

■問題

次の関数の最大値と最小値を求めよ．

${\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x}$　${\displaystyle (-2\leqq x\leqq 5)}$

■答

${\displaystyle x=-1,5}$ のとき，最大値${\displaystyle 5}$

${\displaystyle x=3}$ のとき，最小値${\displaystyle -27}$

■解説

${\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-9x}$

${\displaystyle f\prime \left(x\right)={3x}^2-6x-9}$

${\displaystyle =3(x+1)(x-3)}$

${\displaystyle f\prime (x)=0}$ とすると，${\displaystyle x=-1,3}$

${\displaystyle f(x)}$ における増減表を次のようになる．

また， ${\displaystyle f(x)}$ のグラフおよび最大値，最小値は次のようになる．

よって， ${\displaystyle x=-1,5}$ のとき最大値は

${\displaystyle f(-1)=f(5)=5}$

である．${\displaystyle x=3}$ のとき最小値は

${\displaystyle f(3)=-27}$

である．

　

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最終更新日： 2023年10月9日