極値の問題

■問題

次と最の関数の最大値小値を求めよ．

${\displaystyle f(x)=-x^3+4x^2-4x+2}$ ${\displaystyle (1\leqq x\leqq 3)}$

■答

${\displaystyle x=2}$ のとき，最大値 ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle x=3}$ のとき，最小値 ${\displaystyle -1}$

■解説

${\displaystyle f(x)=-x^3+4x^2-4x+2}$

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+8x-4}$

${\displaystyle =-(x-2)(3x-2)}$

${\displaystyle f\prime (x)=0}$ とすると， ${\displaystyle x=\frac{2}{3},2}$

${\displaystyle f(x)}$ における増減表を次のようになる．

また， ${\displaystyle f(x)}$ のグラフおよび最大値，最小値は次のようになる．

よって， ${\displaystyle x=2}$ のとき，最大値は

${\displaystyle f(2)=2}$

${\displaystyle x=3}$ のとき，最小値は

${\displaystyle f(3)=-1}$

である．

　

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最終更新日： 2025年6月2日