基本的な行列の問題

■問題

掃き出し法を用いて，次の連立方程式を解け．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a+b-2c-2d=-5\\ 2a-2b+c-d=8\\ -a+b-c+2d=-5\\ -2a-b+c-3d=2\end{array}\right.}$

■答

${\displaystyle a=1}$，${\displaystyle b=-2}$，${\displaystyle c=2}$，${\displaystyle d=0}$

■計算

${\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1& 1& -2& -2\\ 2& -2& 1& -1\\ -1& 1& -1& 2\\ -2& -1& 1& -3\end{array}\left|\begin{array}{c}-5\\ 8\\ -5\\ 2\end{array}\right.\right)}$

行基本変形を用いて2行-1行×2，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& -2& -2\\ 0& -4& 5& 3\\ 0& 2& -3& 0\\ 0& 1& -3& -7\end{array}\left|\begin{array}{c}-5\\ 18\\ -10\\ -8\end{array}\right.\right)}$

2行2列目の成分を1にするために，行基本変形を用いて2行目と4行目を入れ替える．

${\displaystyle {\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& -2& -2\\ 0& 1& -3& -7\\ 0& 2& -3& 0\\ 0& -4& 5& 3\end{array}\left|\begin{array}{c}-5\\ -8\\ -10\\ 18\end{array}\right.\right)}}$

行基本変形を用いて1行-2行，3行-2行×2，4行+2行×4の計算をする．

${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 5\\ 0& 1& -3& -7\\ 0& 0& 3& 14\\ 0& 0& -7& -25\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\ -8\\ 6\\ -14\end{array}\right.\right)}$

行基本変形を用いて4行+3行×2の計算をする．

${\displaystyle {\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 5\\ 0& 1& -3& -7\\ 0& 0& 3& 14\\ 0& 0& -1& 3\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\ -8\\ 6\\ -2\end{array}\right.\right)}}$

4行目に-1を掛ける．

${\displaystyle {\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 5\\ 0& 1& -3& -7\\ 0& 0& 3& 14\\ 0& 0& 1& -3\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\ -8\\ 6\\ 2\end{array}\right.\right)}}$

3行3列目の成分を1にするために，行基本変形を用いて3行目と4行目を入れ替える．

${\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 5\\ 0& 1& -3& -7\\ 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 3& 14\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\ -8\\ 2\\ 6\end{array}\right.\right)}$

行基本変形を用いて1行-3行，2行+3行×3，4行-3行×3の計算をする．

${\displaystyle {\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 8\\ 0& 1& 0& -16\\ 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 23\end{array}\left|\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\\ 0\end{array}\right.\right)}}$

4行4列目を1にするために23で割る．

${\displaystyle {\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 8\\ 0& 1& 0& -16\\ 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\left|\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\\ 0\end{array}\right.\right)}}$

行基本変形を用いて1行-4行×8，2行+4行×16，3行+4行×3の計算をする．

${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\left|\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\\ 0\end{array}\right.\right)}}}$

よって，答えは

${\displaystyle a=1}$，${\displaystyle b=-2}$，${\displaystyle c=2}$，${\displaystyle d=0}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日