基本的な行列の問題

■問題

${\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}9& 1\\ -6& -1\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -5& -3\end{array}\right)}$ のとき，${\displaystyle A{B}^5{A}^{-1}}$を求めよ．

■答え

${\displaystyle A{B}^5{A}^{-1}=\frac{16}{3}\left(\begin{array}{cc}-14& -32\\ 5& 14\end{array}\right)}$

■解説

${\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}9& 1\\ -6& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& \frac{1}{3}\\ -2& -\frac{1}{3}\end{array}\right)}$

${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle =\frac{1}{3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\cdot \left(-2\right)}\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\\ 2& 3\end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -6& -9\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}9& 1\\ -6& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-3& -6\\ 13& 22\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-14& -32\\ 5& 14\end{array}\right)}$

よって

${\displaystyle {\left(AB{A}^{-1}\right)}^2}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-14& -32\\ 5& 14\end{array}\right)\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-14& -32\\ 5& 14\end{array}\right)}$${\displaystyle =4\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$

${\displaystyle n}$ を自然数とすると

${\displaystyle {\left(AB{A}^{-1}\right)}^n=A{B}^n{A}^{-1}}$となるから，${\displaystyle A{B}^5{A}^{-1}={\left(AB{A}^{-1}\right)}^5}$と変換できる．

${\displaystyle {\left(AB{A}^{-1}\right)}^5}$${\displaystyle ={\left(AB{A}^{-1}\right)}^2{\left(AB{A}^{-1}\right)}^2\left(AB{A}^{-1}\right)}$

${\displaystyle =4\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)4\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-14& -32\\ 5& 14\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\frac{16}{3}\left(\begin{array}{cc}-14& -32\\ 5& 14\end{array}\right)}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日