偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\frac{y}{x}}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ ${\displaystyle =-\frac{y}{x^2}}$ ,  ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{x}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

${\displaystyle x}$を指数で表す．

${\displaystyle z}$${\displaystyle =\frac{y}{x}}$${\displaystyle =y{x}^{-1}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =y·\left(-1\right)·x^{-1-1}}$

${\displaystyle =-\frac{y}{x^2}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{1}{x}{y}^{1-1}}$

${\displaystyle =\frac{1}{x}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日