指数が0，負の整数の場合（指数を正の整数から整数全体に拡張）

${\displaystyle a\ne 0}$ ， n は正の整数とする． この場合

0が指数となる場合：　　 ${\displaystyle a^0=1}$

負の整数-nが指数となる場合：　　 ${\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$

と定める．

具体例として

${\displaystyle 2^0=1}$

${\displaystyle 2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}}$ すなわち， ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ は指数を用いて表すと ${\displaystyle 2^{-2}}$ となる．

このように定めると， a の n 乗 ${\displaystyle a^n}$ の指数が整数 n の場合でも，指数法則が成り立つ．また，指数が0や負の整数の場合を導入すると，指数法則に

• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• ${\displaystyle {\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}}$

が追加される．指数法則を書き直すと

追加した指数法則の具体的計算例を示す．

• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ の具体的計算例

  ${\displaystyle \frac{2^5}{2^2}}$ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 × 2

  ${\displaystyle =2\times 2\times 2}$

  ${\displaystyle =2^{5-2}}$

  ${\displaystyle =2^3}$

   

  ${\displaystyle \frac{2^3}{2^6}}$ ${\displaystyle =\frac{2\times 2\times 2}{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2}}$

  ${\displaystyle =\frac{1}{2\times 2\times 2}}$

  ${\displaystyle =\frac{1}{2^{6-3}}}$

  ${\displaystyle =2^{3-6}}$

  ${\displaystyle =2^{-3}}$

• ${\displaystyle {\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}}$ の具体的計算例

  ${\displaystyle {\left(\frac{2}{3}\right)}^3}$ ${\displaystyle =\left(\frac{2}{3}\right)\times \left(\frac{2}{3}\right)\times \left(\frac{2}{3}\right)}$

  ${\displaystyle =\frac{2\times 2\times 2}{3\times 3\times 3}}$

  ${\displaystyle =\frac{2^3}{3^3}}$

■参考

⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

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最終更新日： 2025年4月26日