指数が有理数の場合
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指数が有理数の場合(指数を整数から有理数に拡張)

a>0 m n は正の整数とする.また, r を正の有理数とする.このとき,

正の有理数 m n  を指数とする場合

a m n = a m n  累乗根を参照

言い換えると a の  m n  乗は  a の m 乗の  n 乗根

負の有理数-r が指数となる場合

a r = 1 a r

と定める.  

具体例として,

2 5 3 = 2 5 3 81 4 = 3 4 4 = 3 4 4 = 3 1 =3

3 1.5 = 3 3 2 = 1 3 3 2 = 1 3 3 = 1 3 3

このように定めると, a の n 乗 a n  の指数 n が有理数の場合でも,指数法則が成り立つ.ただし,底の条件はa0 b0 からa>0 b>0 に変わる(累乗根のn が偶数の場合を参照).

指数法則

a>0 b>0 r s  は有理数とするとき

  • a r · a s = a r+s
  • ( a r ) s = a rs
  • ( ab ) r = a r b r
  • a r a s = a rs
  • ( a b ) r = a r b r

具体的な計算例

2 1.5  と 2 2.5  の積を考える.

2 1.5 = 2 3 2 = 1 2 3 2 = 1 2 3 = 1 2 2  

2 2.5 = 2 5 2 = 2 5 = 2 2 2 =4 2  

よって,

2 1.5 × 2 2.5 = 1 2 2 ×4 2 =2  

一方,指数法則を使って計算すると,

2 1.5 × 2 2.5 = 2 1.5+2.5 = 2 1 =2  

となり,結果は一致する.


■参考

    指数が[1]正の整数の場合,[2]0,負の整数の場合,[3]有理数の場合,[4]実数の場合


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最終更新日: 2018年3月31日

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