指数が有理数の場合（指数を整数から有理数に拡張）

${\displaystyle a>0}$ ，m，n は正の整数とする．また，r を正の有理数とする．このとき

正の有理数${\displaystyle \frac{m}{n}}$  を指数とする場合：

${\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$ 　⇒累乗根を参照

言い換えると a の ${\displaystyle \frac{m}{n}}$  乗は a のm 乗の n 乗根

負の有理数-r が指数となる場合：

${\displaystyle a^{-r}=\frac{1}{a^r}}$

と定める． 　

具体例として

${\displaystyle \sqrt[3]{2^5}=2^{\frac{5}{3}}}$ ，${\displaystyle \sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3^{\frac{4}{4}}=3^1=3}$

${\displaystyle 3^{-1.5}=3^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3^3}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}}$

このように定めると，a のn 乗${\displaystyle a^n}$  の指数n が有理数の場合でも，指数法則が成り立つ．ただし，底の条件は$a\ne 0$， $b\ne 0$ から$a>0$， $b>0$ に変わる（累乗根のn が偶数の場合を参照）．

具体的な計算例

${\displaystyle 2^{-1.5}}$  と${\displaystyle 2^{2.5}}$  の積を考える．

${\displaystyle 2^{-1.5}=2^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2^3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}}$  

${\displaystyle 2^{2.5}=2^{\frac{5}{2}}=\sqrt{2^5}=2^2\sqrt{2}=4\sqrt{2}}$  

よって

${\displaystyle 2^{-1.5}\times 2^{2.5}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\times 4\sqrt{2}=2}$  

一方，指数法則を使って計算すると

${\displaystyle 2^{-1.5}\times 2^{2.5}=2^{-1.5+2.5}=2^1=2}$  

となり，結果は一致する．

■参考

    ⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

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最終更新日： 2023年7月28日