　累乗

累乗

$a$ を $n$ 回かけたものを $a$ の $n$ 乗といい， $a^{n}$ と表す．

式で書くと

$\underset{n 回}{\underset{⏟}{a \times a \times a \times \dots \times a \times a}} = a^{n}$

( $n$ ：正の整数)

となる．

$a^{n}$ の形をした数または式を $a$ の累乗（るいじょう）といい， $a$ を底， $n$ を指数という．

$a$ の累乗には以下に示す指数法則が成り立つ．

指数法則

$m$ ， $n$ は正の整数とするとき

● $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

● ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

● ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$

　

■指数法則の具体的な計算例

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ の具体的計算例

$3^{2} \times 3^{3} = (3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3)$

$= 3^{2 + 3}$

$= 3^{5}$

3を5回かけたことになる（ $2 + 3 = 5$ ）

$5^{3} \times 5^{5}$ $= (5 \times 5 \times 5) \times (5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5)$

$= 5^{3 + 5}$

$= 5^{8}$

5を8回かけたことになる（ $3 + 5 = 8$ ）
${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ の具体的計算例

${(2^{3})}^{2} = (2^{3}) \times (2^{3})$

$= (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2)$

$= 2^{3 \times 2}$

$= 2^{6}$

2を6回かけたことになる（ $3 \times 2 = 6$ ）

${(7^{4})}^{3} = (7 \times 7 \times 7 \times 7)$ $\times (7 \times 7 \times 7 \times 7)$ $\times (7 \times 7 \times 7 \times 7)$

$= 7^{4 \times 3}$

$= 7^{12}$

7を12回かけたことになる（ $4 \times 3 = 12$ ）
${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$ の具体的計算例

${(2 \times 3)}^{4}$ $= (2 \times 3) \times (2 \times 3) \times (2 \times 3) \times (2 \times 3)$

$= (2 \times 2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3 \times 3 \times 3)$

$= 2^{4} \times 3^{4}$

2を4回，3を4回かけたことになる

${(5 \times 7)}^{3} = (5 \times 7) \times (5 \times 7) \times (5 \times 7)$

$= (5 \times 5 \times 5) \times (7 \times 7 \times 7)$

$= 5^{3} \times 7^{3}$

5を3回，7を3回かけたことになる

■参考

⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

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最終更新日： 2023年7月28日