指数が実数の場合（指数を有理数から実数に拡張）

${\displaystyle a>0}$ で，指数x が実数の場合，${\displaystyle a^x}$  を以下のように定める．

数 x に限りなく近づく有理数の数列 ${\displaystyle r_1,r_2,r_3,\cdots }$ を考えると，数列 ${\displaystyle a^{r_1},a^{r_2},a^{r_3},\cdots }$ はある値に限りなく近づく．その値を${\displaystyle a^x}$  と定める．

このように定めると， a のr 乗 ${\displaystyle a^r}$  の指数 r が実数の場合でも，指数法則が成り立つ．

例えば，${\displaystyle 3^{\sqrt{2}}}$について説明する．

この場合， ${\displaystyle a=3}$，${\displaystyle x=\sqrt{2}}$ となる．${\displaystyle \sqrt{2}=1.4142135\cdots }$  なので，${\displaystyle \sqrt{2}}$ に限りなく近づく有理数の数列

1，1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，1.414213，1.4142135，･･････

を考え，この数列を指数とする3の累乗の数列は

$3^1$ ，$3^{1.4}$ ，$3^{1.41}$ ，$3^{1.414}$ ，$3^{1.4142}$ ，$3^{1.41421}$ ，$3^{1.414213}$ ，$3^{1.4142135}$ ，･･････

となる．この数列の値は以下のようになり

${\displaystyle \begin{array}{ccc}{3}^1& =& 3\\ 3^{1.4}& =& 4.655536\cdots \\ 3^{1.41}& =& 4.706965\cdots \\ 3^{1.414}& =& 4.727695\cdots \\ 3^{1.4142}& =& 4.728733\cdots \\ 3^{1.41421}& =& 4.728785\cdots \\ 3^{1.414213}& =& 4.728801\cdots \\ 3^{1.4142135}& =& 4.728804\cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}}$

ある一定の値に近づく．その値を${\displaystyle 3^{\sqrt{2}}}$と定める．

■参考

    ⇒ [1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

　

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最終更新日： 2023年7月28日