指数が実数の場合
KIT数学ナビゲーション
 

指数が実数の場合(指数を有理数から実数に拡張)

a>0 で,指数 x が実数の場合, a x  を以下のように定める.

x に限りなく近づく有理数の数列  r 1 , r 2 , r 3 ,  を考えると,数列  a r 1 , a r 2 , a r 3 , はある値に限りなく近づく.その値を a x  と定める.

このように定めると, a の r 乗  a r  の指数  r が実数の場合でも,指数法則が成り立つ.

指数法則

a>0 b>0 r s  は実数とするとき

  • a r · a s = a r+s
  • ( a r ) s = a rs
  • ( ab ) r = a r b r
  • a r a s = a rs
  • ( a b ) r = a r b r

例えば, 3 2 について説明する.

この場合, a=3 x= 2  となる. 2 =1.4142135   なので, 2  に限りなく近づく有理数の数列

1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,1.414213,1.4142135,・・・・・・

を考え,この数列を指数とする3の累乗の数列は,

3 1 3 1.4 3 1.41 3 1.414 3 1.4142 3 1.41421 3 1.414213 3 1.4142135 ,・・・・・・

となる.この数列の値は以下のようになり,

3 1 = 3 3 1.4 = 4.655536 3 1.41 = 4.706965 3 1.414 = 4.727695 3 1.4142 = 4.728733 3 1.41421 = 4.728785 3 1.414213 = 4.728801 3 1.4142135 = 4.728804

ある一定の値に近づく.その値を 3 2 と定める.


■参考

     [1]正の整数の場合,[2]0,負の整数の場合,[3]有理数の場合,[4]実数の場合


ホーム>>カテゴリー別分類>>指数/対数>>累乗>>指数が実数の場合

最終更新日: 2018年3月31日

[ページトップ] 金沢工業大学