指数が負の有理数の場合

${\displaystyle a>0}$ ，r を正の有理数とする．

${\displaystyle a^{-r}=\frac{1}{a^r}}$

■導出

r は正の有理数とする．すると，−r は負の有理数となる．指数法則がなりたつとすると

${\displaystyle a^0=a^{r+\left(-r\right)}=a^r{a}^{-r}}$

${\displaystyle a^0=1}$より（⇒指数が0，負の整数の場合を参照）

${\displaystyle a^r{a}^{-r}=1}$

両辺を ${\displaystyle a^r}$  で割ると

${\displaystyle a^{-r}=\frac{1}{a^r}}$

となる．

■事例

${\displaystyle a^{-\frac{1}{2}}={\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{a}}}$

${\displaystyle a^{-\frac{1}{3}}={\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^{-1}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt[3]{a}}}$

${\displaystyle a^{-\frac{2}{3}}={\left(a^{\frac{2}{3}}\right)}^{-1}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{{\left(a^2\right)}^{\frac{1}{3}}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}}$

■参考

⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

 

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最終更新日： 2024年7月14日