指数が正の有理数の場合

${\displaystyle a>0}$ ，m，n は正の整数とする．

${\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$　特に $m=1$のとき，${\displaystyle a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}}$

■導出

指数法則がなりたつとすると

${\displaystyle {\left(a^{\frac{m}{n}}\right)}^n=a^{\frac{m}{n}\times n}=a^m}$　･･････(1)

一方

${\displaystyle a^m}$  のn 乗根${\displaystyle \sqrt[n]{a^m}}$  をn 乗すると${\displaystyle a^m}$ となる⇒累乗根を参照

式で示すと，${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a^m}\right)}^n=a^m}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle {\left(a^{\frac{m}{n}}\right)}^n={\left(\sqrt[n]{a^m}\right)}^n}$

よって

${\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$

となる．

■事例

${\displaystyle a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}}$

${\displaystyle a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}}$

${\displaystyle a^{\frac{2}{3}}={\left(a^2\right)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a^2}}$

■参考

⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

 

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最終更新日： 2024年7月13日