偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\frac{x-y}{x+y}}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2y}{{\left(x+y\right)}^2},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2x}{{\left(x+y\right)}^2}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分の際は商の導関数の公式を用いる．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．
商の導関数の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{1·\left(x+y\right)-\left(x-y\right)·1}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{x+y-x+y}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{2y}{{\left(x+y\right)}^2}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．
商の導関数の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{-1·\left(x+y\right)-\left(x-y\right)·1}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{-x-y-x+y}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{2x}{{\left(x+y\right)}^2}}$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2018年10月31日