偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=2sin\sqrt{xy}}$

■答

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分の際は ${\displaystyle sinx}$ の微分の公式を用いる．

■解説

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．
${\displaystyle sinx}$ の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =2\cos \sqrt{xy}\frac{\partial }{\partial x}\sqrt{xy}}$

${\displaystyle =2\left\{\frac{1}{2}{\left(xy\right)}^{-\frac{1}{2}}·y\right\}cos\sqrt{xy}}$

${\displaystyle =\frac{y}{\sqrt{xy}}cos\sqrt{xy}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{y}{x}}\cos \sqrt{xy}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．
${\displaystyle sinx}$ の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =2\cos \sqrt{xy}\frac{\partial }{\partial y}\sqrt{xy}}$

${\displaystyle =2\left\{\frac{1}{2}{\left(xy\right)}^{-\frac{1}{2}}·x\right\}cos\sqrt{xy}}$

${\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{xy}}cos\sqrt{xy}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{x}{y}}\cos \sqrt{xy}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日