微分　sinx 

${\displaystyle {\left(\sin x\right)}^{\prime }=\cos x}$  

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■導出

導関数の定義式 ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}$より

${\displaystyle {\left(sinx\right)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{sin\left(x+\Delta x\right)-sinx}{\Delta x}}$

和積の公式 ${\displaystyle sin\varphi -sin\theta =2cos\frac{\varphi +\theta }{2}sin\frac{\varphi -\theta }{2}}$より

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{2cos\frac{2x+\Delta x}{2}·sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}}$

${\displaystyle \frac{2}{\Delta x}=\frac{1}{\frac{\Delta x}{2}}}$ より

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\left\{cos\frac{2x+\Delta x}{2}·\frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right\}}$

極限の性質 $\underset{x\to a}{\lim }\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}=\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)$より

${\displaystyle =\left(\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\cos \frac{2x+\Delta x}{2}\right)\left(\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$ →${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=1}$より

${\displaystyle =\mathbf{cos}\mathit{x}}$

■ ${\displaystyle y=\sin \theta }$ のとき ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }=\cos \theta }$ となることの図形による説明

 

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最終更新日： 2026年9月25日