極限 x →0　sinx /x

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1}$

■導出

I．$x>0$ の場合

右のような図形を考える．${\displaystyle \text{AB}=1}$ ，${\displaystyle \angle \text{BAC}=x}$ （弧度法），弧${\displaystyle \text{BA}}$ は半径１の，弧${\displaystyle \text{EF}}$ は半径${\displaystyle cosx}$ である．このとき，

${\displaystyle sinx}$ ＝${\displaystyle \text{DE}}$ ，${\displaystyle x}$ ＝弧${\displaystyle \text{BD}}$ 　

よって，図形を用いて説明すると

となる．直感的に，この値は１より小さい値であるとわかる．

予備知識として，弧${\displaystyle \text{EF}}$ （${\displaystyle xcosx}$ ），${\displaystyle \text{DE}}$ （${\displaystyle sinx}$ ），弧${\displaystyle \text{BD}}$ （${\displaystyle x}$ ），${\displaystyle \text{BC}}$ （${\displaystyle tanx}$ ）の長さの関係を導いておくことにする．

扇形${\displaystyle \text{AEF}}$ の面積＝${\displaystyle \frac{1}{2}x{\left(cosx\right)}^2}$ ，三角形${\displaystyle \text{AED}}$ ＝${\displaystyle \frac{1}{2}cosxsinx}$，三角形${\displaystyle \text{ABD}}$ ＝${\displaystyle \frac{1}{2}sinx}$

扇形${\displaystyle \text{ABD}}$ の面積＝${\displaystyle \frac{1}{2}x}$ ，三角形${\displaystyle \text{ABC}}$ の面積＝${\displaystyle \frac{1}{2}tanx}$

扇形${\displaystyle \text{AEF}}$ の面積＜三角形${\displaystyle \text{AED}}$ の面積 より

三角形${\displaystyle \text{AEA}}$ の面積＜扇形${\displaystyle \text{ABD}}$ の面積＜三角形${\displaystyle \text{ABC}}$ の面積 より

(1)，(2)より

$x\cos x<\sin x<x<\tan x$　･･････(3)

表現を変えると

弧${\displaystyle \text{EF}}$ （${\displaystyle xcosx}$ ）の長さ＜${\displaystyle \text{DE}}$ （${\displaystyle sinx}$ ）の長さ＜弧${\displaystyle \text{BD}}$ （${\displaystyle x}$ ）＜${\displaystyle \text{BC}}$ （${\displaystyle tanx}$ ）の長さ　･･････(4)

となる．

${\displaystyle \frac{sinx}{x}}$ を求めるとき，はさみうちの手法を用いることにする．(3)の左から3辺分の関係と${\displaystyle x>0}$より

となる．したがって，${\displaystyle x\to 0}$  ならば，${\displaystyle cosx\to 1}$  となり

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1}$

が導かれる．また，(3)の右から3辺分の関係と$\sin x>0$より

となり同様にして

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1}$　･･････(7)

が導かれる．

II．$x<0$  の場合

$x<0$とし，$x=-t$とおく．$t>0$，かつ，$x\to 0$ のとき$t\to 0$ である．よって

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(-t\right)}{-t}}$${\displaystyle =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{-\sin t}{-t}}$${\displaystyle =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1}$

となる

I，IIより

$x>0$，$x<0$ のいずれの場合も

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$

が成り立つ．

 

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最終更新日 2024年5月13日