偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\frac{5x+3y}{3x+2y}}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)=\frac{y}{{\left(3x+2y\right)}^2}}$ ，${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=-\frac{x}{{\left(3x+2y\right)}^2}}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

${\displaystyle z=\frac{5x+3y}{3x+2y}}$ とおく．

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．
分数関数の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{5·\left(3x+2y\right)-\left(5x+3y\right)·3}{{\left(3x+2y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{\left(15x+10y\right)-\left(15x+9y\right)}{{\left(3x+2y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{y}{{\left(3x+2y\right)}^2}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．
分数関数の微分の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{3·\left(3x+2y\right)-\left(5x+3y\right)·2}{{\left(3x+2y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{\left(9x+6y\right)-\left(10x+6y\right)}{{\left(3x+2y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{-x}{{\left(3x+2y\right)}^2}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日