偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^y}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=y{x}^{y-1}}$，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=x^{y}logx}$

■ヒント

偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

${\displaystyle z=x^y}$とおく．

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =y{x}^{y-1}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．底を$e$に変換してから偏微分する（ここ を参照）．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}{e}^{\log x^y}}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}{e}^{y\log x}}$

${\displaystyle =e^{y\log x}\frac{\partial }{\partial y}y\log x}$

${\displaystyle =e^{y\log x}\cdot \log x}$

${\displaystyle =x^{y}logx}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月24日