指数関数の微分

１．対数微分法を用いる

２．eに底を変換して微分する

指数関数を微分する場合，底を自然対数の底e に変換してから，微分するとよい．

■例

底がa である${\displaystyle a^x}$  を，底をe に変換して微分する． （ただし，a は0より大きい定数）

${\displaystyle {\left(a^x\right)}^{\prime }={\left(e^{log{a}^x}\right)}^{\prime }}$

（ ${\displaystyle \because }$  指数関数の底の変換　 ${\displaystyle a^x=e^{log{a}^x}}$ ）

${\displaystyle ={\left(e^{xloga}\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =\left(loga\right)·e^{xloga}}$

（ ${\displaystyle \because }$  合成関数の微分 ${\displaystyle y=e^u}$ ， ${\displaystyle u=xloga}$  ）

${\displaystyle =a^{x}loga}$

（ ${\displaystyle \because }$   ${\displaystyle e^{log{a}^x}=a^x}$  ） 　

 

${\displaystyle a^x}$  の微分に関してはここも参照のこと

底が変数x である${\displaystyle x^x}$  を，底をe に変換して微分する．

${\displaystyle {\left(x^x\right)}^{\prime }={\left(e^{log{x}^x}\right)}^{\prime }}$

（ ${\displaystyle \because }$  指数関数の底の変換）

${\displaystyle ={\left(e^{xlogx}\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =e^{xlogx}·{\left(xlogx\right)}^{\prime }}$

（ ${\displaystyle \because }$   合成関数の微分 ${\displaystyle y=e^u}$ ，${\displaystyle u=x\log x}$ ）

${\displaystyle =e^{xlogx}·\left(logx+x·\frac{1}{x}\right)}$

${\displaystyle =\left(logx+1\right)x^x}$

（ ${\displaystyle \because }$   ${\displaystyle e^{log{x}^x}=x^x}$  ）

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最終更新日： 2024年5月17日